Low Achievers’ cognition and achievementmath problems solving peer-scaffolding Theory into Practice International Journal of Mathematics Education Introduction 國中學生數學學習成就與態度現況 國際教育成就調查委員會（International Association for the Evaluation of Educational Achievement ,IEA）2007年的「國際數學與科學教育成就趨勢調查」（TIMSS）結果顯示，台灣國二的數學成績一舉拿下世界第一，其中的推理（reasoning）和代數（algebra）成績也都排名第一；台灣小四數學則拿下第三（576, 1.7），顯著低於香港（607, 3.6）和新加坡（599, 3.7）。相較於4年前台灣的國二數學與小四數學皆為第4，排名上有明顯的進步（Mullis, etc., 2008）。 國中數學學習問題的教學問題 然而，2007TIMSS報告也顯示：台灣國二學生未達數學中等程度的低分比例為14%，相較於新加坡與韓國，低分比例偏高；此外，台灣國二學生在數學的「學習正向態度」和「自信心指標」皆低於國際平均值，國二生自信心指標更名列50個受測國家的第46，這種學業成就與態度趨勢的對比與落差，以及低分學生比例偏高的現象，實值得探究。究其原因，台灣整體數學教育成就締造的亮眼成績，或許得力於得高分學生的家長關心孩子的課業、社會有很高期待、學校老師的努力，以及學生有足夠的練習。但在教學現場，仍普遍存在進度與效率的迷思，老師講、學生聽的傳統教學方式仍然是主流，在強調教學進度、許多講述、大量練習、快速解題的情況下，成就較好學生的學習變成背公式、追求解題速度（表），其結果是學生對於解數學問題或許可以熟練，卻在新奇及變化的情境中不知如何思考，而導致學生認為數學課是無聊的，甚至演變成數學無用論（蔡文煥，2004），加上頻繁的考試壓力，導致許多學生失去信心，甚至不喜歡數學；而低成就的學生，或許累積了一些數學概念，但數學的邏輯靠有限的概念無法連結，無法順利解題，挫折導致上數學成為他們的夢靨，甚至是老師習得的無助(learned helplessness)：「去他們班上課，前20分鐘要讓他們靜下心來聽課，處理他們上一節課的糾紛，後20分鐘要避免他們等著下課而開始浮躁，所以就只剩下5分鐘真的可以上課了，當然上不到什麼內容…」（教師談話06/25）。教學不足，學生逃避數學的惡性循環，是許多老師心知肚明的事實，遑論學習成就。 表 Exhibit 7.6 Students’ Reports on Learning Activities in Mathematics Lessons
Country
Percentage of students who reported doing the activity about half of the lessons or more
Memorize formulas and procedures
Work problems on their own
Explain answers
Relate what is being learned in mathematics to their daily life
Decide procedures for solving complex problems
Chinese Taipei
48(1.2)
52 (1.1)
33 (1.1)
31 (0.9)
44 (1.1)
TIMSS2007 Mathematics, p.285. 教師對學生數學認知的認知落差can be a key factor in developing math difficulties for students. Many researchers believe that weak instruction is frequently mistaken for a mathematics disability. While many students, perhaps even a majority, can tolerate mediocre instruction, a large percentage of students cannot（Tapper, 2008）. Research at Vanderbilt University by Lynn and Doug Fuchs predict, based on research with large student populations, the vast majority of students who struggle with mathematics do so because the instruction they received was inadequate to their cognitive needs. Researchers call these students who struggle from inadequate instruction “instructional casualties.” 社會化的歷程可以促進數學的學習（），但許多研究者皆提到鷹架理論在大班教學中實施的困難（李永吟、單文經，1995；Lerman, 1996; 潘世尊，1997），主要是在於班上學生的人數多，每個學生的「近側發展區」皆不相同，要搭起適合每個學生的學習鷹架幾乎是不可能的事。而基於鷹架理論所發展出來的合作學習，雖然將人數降低到每組只有4~6人，透過小組合作學習的方式，讓同儕之間相互教與學的影響來提升整體的學習狀況，然而在實際的運作上，卻常因為小組成員缺乏對合作學習的了解及技巧的訓練，導致目標不一致，人多嘴雜，向心力不足，學習機會不均等、部分學生參與度不高、只分工不合作的現象，而無法達到預期的學習效果，喪失了原本合作學習中同儕相互激勵的美意（黃善美、黃萬居，2003）。人數更少的同儕交互指導（reciprocal peer tutoring）、同儕輔助學習（peer-assisted learning），或同儕師徒制（peer mentoring），在同儕指導的學習內容方面，主要在幫助其學習態度與知識記憶、理解與應用的較低層次認知，較少觸及到較高層次的分析、綜合與評價的認知行為（Kroeger & Kouche, 2006）。 In addition, significant gaps in student partners’ abilities are often found in traditional tutoring relationships，在同一個班級內依學生能力強弱分組結果，也容易造成分類及標籤學生的現象。因此，研究者認為，同儕互動時若人數少，社會互動不充分，導致鷹架不符合個體的近側發展區，也不能完全的學習；而教師分身乏術，也比較不容易即時掌握全體學生或個別學生的代數思維，提供必要的協助，致使教學不足。 樣式與規律的推理在推理研究中雖然不是主流，但卻於數學及科學教育界越來越被重視，它更是國中數學課程的核心。根據2007TIMSS Report, At the eighth grade 的數學課程,on average internationally, teachers reported devoting 29 percent of the mathematics instructional time to algebra, while only 24 percent to number, 27 percent to geometry, 13 percent to data and chance, and 7 percent to other areas. 傳統代數在國中的課程編排上，數學內容多以邏輯結構為主，由淺入深以螺旋式的方式來進行，無非是希望學習者能奠定日後學習數學的基礎，但學習者的認知心理邏輯卻往往被忽視，例如：老師經常在學習者還沒掌握到符號的意義時，便操作了一大堆的符號，學習者並未從具體的算術過渡到抽象的代數，因此往往只知其然卻不知其所以然。同時，許多研究（Booth, 1988; Greenes & Findell, 1999; 李美蓮，2004; 李佩玟，2006）指出大部分的國、高中生接觸到正式的代數內容之前，代數主題的前置經驗可說相當貧乏，從具體操作到抽象公式之間，此學習歷程中的轉型現象，也很少被教學者注意到，因此，在以算術為基礎的課程轉化為以抽象代數想法或理解為重的學習過程裡，學習者都普遍的感到困難。 基於上述之理由，本研究試圖以「樣式與規律」作為課程內容，以符合近側發展區原理的同儕鷹架為策略，探討學生在數學解題歷程當中數學同儕鷹架的運作，並比較教學前、後，學生後設認知能力與數學學習成就之差異。 研究目的 一、探討同儕鷹架教學策略對國中低成就學生「樣式與規律」數學思維的影響。 二、探討同儕鷹架教學策略對國中低成就學生「樣式與規律」後設認知能力的成效。 三、探討同儕鷹架教學策略對國中低成就學生「樣式與規律」學習成就的成效。 Theoretical Framework 數學的學習注重循序累進的概念與邏輯結構，The National Council of Teachers of Mathematics（2000)主張數學解題的認知歷程主要包括問題解決（problem solving）、推理和證明（reasoning and proof）、溝通（communication）、連結（connections）以及表徵（representations），過程中需要運用許多數學概念與概念的連結才能順利解題，這些概念都跟人類訊息處理機制當中的工作記憶息息相關。 壹、工作記憶影響學生的數學認知 The cognitive literature has shown how critically math performance depends on workingmemory, for any form of arithmetic and math that involves processes beyond simple memory retrieval such as non-verbal reasoning（Ashcraft ＆Krause, 2007; Owens, Stevenson, Norgate, & Hadwin,2008； Bull, Espy, & Wiebe, 2008）. Developmental, psychological, neuro-scientific perspectives 一、Developmental Factors Contribute to Working Memory 認知心理取向將解題歷程主要區分為問題表徵(problem representation)和解決問題(problem solution)兩個階段。問題表徵將文字或圖案轉換成心理表徵，又可分成兩個子步驟：1.問題轉譯(problem translation)：將每一句子或主要詞句轉譯為內在心理表徵，需要良好的語言與語意知識；2.問題整合(problem integration)： 整合要將問題的敘述結合成連貫的表徵，需要良好的基模知識(schematic knowledge)，以區分問題的類型。問題解決是從問題的心理表徵進行到最後答案的過程，又可分為兩個子步驟：1.解答的計劃與監控( solution planning and monitoring )：需具備解決問題的策略知識；2.解答的實施(solution execution)：需要以程序性知識來有效且正確地應用算式以執行計算工作。因此解題是一個概念不斷提取與運作的 self-reflective learning loop。From a developmental perspective, low achievers have cognitive differences that make it more difficult for them to understand and work with mathematical concepts. Consequently, their math problem-solving results are not reliable for the associated learning which makes the self-reflective learning loop break down. Geary and colleagues (2007) have suggested that these difficulties come into play during three important cognitive processes: working memory, phonological processing, and visual-spatial processing. Regarding the role of phonological processing in math concept learning, Swanson & Kim (2007) explored the contribution of two WM systems (the phonological loop and the central executive) to mathematical performance in young children. The results showed that a two-factor structure separating short-term memory (STM) and WM tasks predicted individual differences in mathematical performance. WM was independent of the contribution of STM and naming speed in predicting children's mathematical performance. However, these basic capacities correlated substantially with the math performance factor, and jointly accounted for over 74% of the Math Performance factor. The results were interpreted as support for the notion that both the central executive system (controlled attention) and storage system of WM predict children's math performance. Kyttälä (2008) investigated whether the visual-spatial workingmemory (VSWM) skills of 15-16-year-old pupils with difficulties in mathematics differ from those of their normally achieving peers. A set of passive and active VSWM tasks was used. Whether pupils with mathematical difficulties differed in their VSWM skills based on whether they had signs of reading deficits or not was also investigated. Results indicate that the pupils with poor performance in math showed poorer performance on certain VSWM tasks. The group with deficits only in math had less capacity for storing passive visual simultaneous information, while the group with difficulties both in math and reading had deficits in both storing (passive visual and visual-spatial information) and processing, and had less ability to control irrelevant visual-spatial information compared to their peers of the same age. The results indicate a general VSWM deficit in pupils with both mathematics and reading problems and a specific VSWM deficit in pupils with only mathematics problems. In a study examining whether measures of short-term memory,workingmemory, and executive functioning in preschool children predict later proficiency in academic achievement at 7 years of age (third year of primary school), Swanson & Kim (2007) found that visual-spatial short-term memory span was found to be a predictor specifically of math ability. Further, visual short-term and workingmemory were found to specifically predict math achievement at each time point, while executive function skills predicted learning in general rather than learning in one specific domain. In this study, children were tested in preschool (M age = 4 years, 6 months) on a battery of cognitive measures, and mathematics and reading outcomes (from standardized, norm-referenced school-based assessments) were taken on entry to primary school, and at the end of the first and third year of primary school. Growth curve analyses examined predictors of math and reading achievement across the duration of the study and revealed that better digit span and executive function skills provided children with an immediate head start in math and reading that they maintained throughout the first three years of primary school. 二、Psychological Factors Contribute to Working Memory While there are developmental and educational factors that may contribute to individual management of working memory (Balthazar, 2003; Beauchamp, M. H., Thompson, D. K., Howard, K., Doyle, L. W., Egan, G. E., Inder, T. E., & Anderson, P. J., 2008; etc.), the psychometric literature is also very clear on the global consequences of mathematics anxiety. In Beilock & DeCaro’s study (2007), one experiment demonstrated under low-pressure conditions, the lower individuals' WM, the better their performance. And, under pressure, higher WM individuals performed optimally by using the simpler strategies lower WM individuals employed. WM availability influences how individuals approach math problems, with the nature of the task performed and the performance environment dictating skill success or failure. High math anxiety works much like a dual task setting: Preoccupation with one's math fears and anxieties functions like a resource-demanding secondary task. A stressful environment can adversely affect the success students have in solving math problems. The work examining how unwanted failure in math occurs and individual differences in those most likely to fail suggests that a high-stress situation creates worries about the situation and its consequences that compete for the workingmemory (WM) normally available for performance. Consequently, the performance of individuals who rely most heavily on WM for successful execution (i.e., higher-WM individuals) is most likely to decline when the pressure is on (Beilock, 2008). Learning can be viewed as the extension of an existing knowledge base. The organization of knowledge in long term memory has been described by early cognitive psychologists as a semantic network of concepts and relations between them (cf Lindsay & Norman 1977) and learning as adjustment of the network by accretion (adding information), restructuring (modification of cognitive schemas) and tuning (fine adjustments for adequacy and efficiency). From this view, learning is the adjusting of a prior knowledge base and teaching is helping to do this. Teachers who have more elaborated and differently structured semantic networks than students can have difficulty understanding students’ cognitive problems and needs. 三、The neuro-scientific evidence of peer scaffolding Findings in neuroscience using MRI to examine the neural basis of higher order cognition have indicated the learning cycle of sensing, integrating, and acting based on the structure of the brain. The structures of the brain used in this cycle include the sensory cortex, the integrative cortex, and the motor cortex. Further, Functional neuroimaging studies of endogenous cued attention suggest that a fronto-parietal attentional network keeps track of current task objectives in workingmemory and enhances activity in posterior sensory regions that underlie the perceptual processing of behaviorally relevant stimuli. Relatively little is known, however, about whether consciously perceived, irrelevant instructional cues can hijack the attentional network, leading to an enhancement of the perceptual processing of irrelevant stimuli. Using a cross-modal attentional cueing task in combination with functional magnetic resonance imaging, we found that such irrelevant cues can indeed hijack the attentional network, as indexed by increased activity in (a) frontal regions that control attention and (b) sensory cortices that underlie the perceptual processing of task-irrelevant stimuli. Furthermore, we found that in left ventrolateral (but not dorsolateral) prefrontal regions, the magnitude of this increased activity varies with whether an irrelevant instructional cue is presented simultaneously with (versus after) a relevant instructional cue. These findings show that consciously perceived, irrelevant instructional cues can activate inappropriate task objectives in workingmemory, resulting in a hijacking of the attentional network. Moreover, they reveal different time courses of hijacking effects in ventrolateral and dorsolateral prefrontal regions, consistent with models in which these regions make distinct contributions to cognitive control（Moore, Porter, & Weissman, 2009）. This information provides direction and strategies such as the application of constructivist education principles for mathematics teachers that align with the principles of the learning cycle（Zambo & Zambo, 2008）. 貳、樣式與規律的代數思維（algebra thinking） 樣式推理活動不僅強調從數量規律為起點的歸納推理，並可衍生演繹推理的活動(Fernandez, & Anhalt, 2001)，也就是學生根據問題中的線索，透過歸納推理來找出樣式、確認樣式，更進一步將樣式一般化（generalize），而後以此樣式規則達成解題目的。 （一）樣式與規律的內涵 pattern與規律性密不可分。張春興（1989）以認知心理學的觀點來解釋 pattern，意指在極短時間內對字形、符號或圖形等刺激能夠辨別認識。本研究將pattern視為一種廣義的規律性，而不是普遍的數學律則。 樣式標示了物件間隱藏的規律關係，而這些物件並不必然是圖畫式的，也可以是數字、抽象的關係、甚至是思維模式。Owen(1995)大略將樣式區分為以下三種類型，此三類型均會出現在國中數學課程中。 1、重複樣式（repeating patterns） 此樣式重點在於循環或重複（cycle）的概念(Owen, 1995)，意指一系列特定的特質，例如顏色、形狀、方向、大小、聲音、數字或其他元素會一直重複出現，例如紅色―紅色―藍色或是正方形―三角形―圓形―正方形―三角形 ― 圓形。此循環不僅可以在單一特質上，也可以多個特質一起變化，例如 Threlfall(1999)曾經指出「□○□○ □○□○□○□○□○□○」，在大小特質上的變化是「小、小、大、小、大、大、小、大」週期長度為8的循環，而在形狀特質上的變化是「方、圓、方、圓、方、圓」週期為2的循環，於是兩個特質的規律組成起來就會呈現上述的樣子。只要學習者能夠找出其重複樣式的循環週期，即可使用相同單位去辨認、複製及創造重複樣式。但由於國中數學課程中，逐漸引入文字符號並作抽象邏輯思維，因此，重複樣式類型的題目對學生而言，困難度較低。 2、結構樣式（structural patterns） 此樣式強調結構的存在(Owen, 1995)，結構意味著概念之間的聯繫，也就是從一組有關連性的事物中發現一些特質。例如會問說5是如何組成的？也就是再問5可以有幾種不同的組成方式？此時則有 4+1＝5、3+2＝5、2+3＝5、1+4＝5 的答案出現，甚至可以分成更多群，例如 1＋1＋3＝5、1＋1＋1＋2＝5、或是 2＋2＋1＝5，所謂的結構樣式就存在於前述一組有關連性的等式中，因而，在國中以後的等量公理之類的等式，或不等式都存在著一些性質，例如 a1＞b1，a2＞b2，則a1＋a2＞b1＋b2等，其實都是屬於結構樣式的議題。結構樣式的察覺看似容易，對那些尚以算術思維為重的學習者來說有時卻很困難，乃因學習者受課程重視數的計算及數量關係之影響，多無法超越算則的重複運算的困境，以致於無法透徹理解數與運算背後潛藏的結構樣式，因此孩童需培養代數思維，才得以讓相聯繫的概念間產生結構性的改變。 3、增長樣式（growing patterns） 此樣式是用可預測的方式來改變一個數值，例如樹的年輪每年都會增加一圈 (Copley, 1998；2003)，此預測方式亦為一系列項目中所隱藏的一套規則，規則隱含著運算，使得前項透過規則的應用可衍生出後項，而後形成一系列項目，各個項目均具有數量意義。其內涵於 Owen (1995)的分類中稱為序列（sequences），研究者認為兩者所述一致，故統稱增長樣式。增長樣式的發生常不是線性的，所以學習者很容易在自然環境中發現它們的存在，直到樣式完全形成(Copley, 1998；2003)。 在正式課程活動中，此類型以數字序列（以下簡稱數列，series）最為典型，如等差數列、等比數列、巴斯卡三角形數。數列意指一系列非重複的數值，隨著一種規則增長所組成(Owen, 1995)，例如「5，10，15，20，…」，是開始於5，每項次為前一項次加5的數列，或是「14，24，34，…」，則是開始於14，每項次為前一項次加10的數列。另外也可以發展三角形數（3，6，10，15）、正方形數（如 4，9，16，25）等課程內容，此是藉由圖形變化轉化為數量關係，所創造出的數列，三角形數為下圖，數列的數量關係隱含邊長與個數關係，正方形數亦然。 3610 二、樣式與規律的推理歷程理論 李佩玟(2006)整理修改自Sternberg與Gardner(1983)的數列推理認知歷程理論。以下首先針對（圖2-4）中各個階段的意涵加以說明，接著與其他理論或文獻對照比較。 圖2-4 數列推理解題之認知歷程模式（李佩玟，2006，頁，63） （一）解釋各階段的意涵 李佩玟(2006)將第一階段稱為編碼，亦指將數列推理問題中的每個項次輸入工作記憶（working memory），以確定每個項次的數字。數列可能包含是單一數串（string1）「a1、a2、a3、a4、」的數列，簡稱單一數列，以及由二個以上數串交錯所組成的數列，如「a1、b1、a2、b2、a3、b3、a4、b4、 」即為複合多數串的數列，簡稱複合數列。 （二）第二階段即是數列推理的重心所在，也是研究者有興趣研究的焦點。 解題者必須察覺、辨識出數列的規律性，才得以類化其規則順利解題，因此此一階段可將它統整稱為發現樣式，其中包括單位化、計算與推論、映射三個步驟。 「單位化」的步驟中包含兩個要點，第一要點為分析數串個數，由於數列分為單一數列及複合數列兩種，遇到複合數列「a1、b1、a2、b2、a3、b3、a4、b4」 時，解題者必須先將整個數列分為「a1、a2、a3、a4」與「b1、b2、b3、b4」兩個數串，再根據數串之間的規律，發現整個數列樣式而後解題。 所以，為發現樣式必須先分析數列的數串個數，解題者能利用多種方式來表示正在從事單位化的運作，例如「a1、b1、a2、b2、a3、b3、a4、b4、_」，即可知解題者正在區分兩個數串；另一要點為發現週期長度，其計算方式必須以單一數列為基點，週期長度為完整循環週期裡所包含的項次，舉例「2、4、6、8、10」的週期長度為1，費波納契數列「1、1、2、3、5、8、13、21 …」，此為單一數列中特殊的數列，其週期長度為3，關係式為f1＝1，f2＝1，fn＋1＝fn＋fn－1，其中 n≧2，解題者必須先知道將鄰近三項切成一單位，從三項間推論某特定關係，然後再一一比對多組關係才能發現樣式規則。至於，複合數列週期長度的計算，則為該數列中子系列的週期長度所組成。因此，解題者想要發現正確的週期長度，則必須將複合數列拆為多個單一數列或將整個數列視為單一數列，才能針對此數列的所有項次切成多個關係單位。 接下來，發現樣式中的第二步驟為計算與推論，亦即運用各種算術能力計算項次階差，推論鄰近項次之間的關係。若以單一數列且週期長度為 1 的數列來舉例，意指計算多組鄰近二項之間的數字，以發現兩者的關係，也就是在找尋a1→a2、a2→a3及a3→a4的關係。發現樣式的最後一個步驟即為映射，亦即發現各組之間的共同關係。假若仍以單一數列且週期長度為1的數列來舉例，指的是經由發現多組二項之間的關係來進行對應的工作，將a1-a2關係映射至a2-a3及a3-a4關係上，然後從中找出共同的數量關係，便能發現數列中隱藏的樣式規則。 特別需要注意的是，在數列推理解題過程中此三步驟單位化、計算與推論、映射可能會持續循環進行，或者只是計算與推論和映射兩階段交互進行，直到數列所有項次間的關係映射成功為止，也就是找到此數列的規律性，如此才算是真正發現樣式。然而，數列隱藏的樣式規則之難度，決定了此三步驟的循環路徑，進而影響解題者發現樣式的時間，例如數列「2、4、8、10、32、16、_」，解題者可能會先視之為單一數列，利用後項－前項推論彼此關為「＋2、＋4、＋2、＋22」，然而在＋22 無法映射成功，於是可能重新尋找鄰近項次之間的關係，也就是重新回到計算與推論步驟，或是回到單位化步驟，將數列分成兩個子系列，以繼續找尋數列的規則，若為前者則是重新推論二項之間的關係×2、×2、×1.25，於是在×1.25部分又發生映射失敗時，才可能漸而發現此數列其實為2、8、32以及4、10、16兩個數串差錯組成的數列，最後再循序漸進地發現整個數列的樣式，由此可證明在發現樣式的階段中，其中的三步驟循環路徑會因解題者的能力與解題習性之差異而有所不同。 當發現整個數列的樣式規則後，則需經過應用或類化的階段來解題，也就是針對問題的要求，應用映射過程中所找到的樣式規則，計算出下幾項的數字為何、或者數列的某一數字不符合其樣式規則…等問題，更甚者能將數量關係以函數來分析、解釋，亦即將算則化成一般化的符號規則來詮釋數量關係，以解決未知數n項為何、預測某一數字是否會出現於數列中…等問題。由此看出，類化的層次會有所不同，當要求學童預測數列的下一、二項數字，只要受試者運用算術思維即可解題；倘若必須回答未知數n項為何之問題，受試者則必須具備完整的代數思維才可順利列式。根據 Sfard(1991)的論點，學生探討樣式規律的問題時，會先出現運算性的思維，此時著重利用數量的計算求出答案的過程，為求解所列的運算式僅是思考的紀錄，直接聯結題目與答案的橋樑，當透過操作運算、學生能熟練並掌握自己的解題步驟後才能清楚其規律，並能將算式賦予意義，最後才有辦法過渡到一般化的抽象代數思維，此時倚重關係的符號化及其運算，運算式的功用不再只是直接聯結問題與答案之間的過程記錄，也充當一種問題轉譯的角色。 此外，在數列解題過程中，由於解題習性與解題策略因人而異，部分受試者在「a1、a2、a3、a4、__」的數列解題中，可能映射a1-a2與 a2-a3的關係之後，立刻猜測其規律性， 然後應用此關係由a3計算出a4，而後發現答案確實與a4吻合，而更加肯定整個數列的樣式規則，最後依照題目所要求再次應用此規則來解題，個體解題策略之差異，導致對少部分解題者來說，可能在數列給定項次的後面幾項即已處理到應用/類化之認知成分，而非等到找到所有給定項次之間的共同關係後才能應用/類化數列樣式來解未知項次，但無論怎樣，整個數列解題之認知歷程中每個階段的順序大致不變，由於受試者的解題習性不是研究者事先能夠預測的，也非本研究焦點，故此情況不影響本研究所探討的焦點。 叁、The psychology of peer scaffolding for low achievers math cognition 從工作記憶對數學的影響，提昇工作記憶的capacity，或減少工作記憶的干擾，有助於提升低成就學生在數學解題時進行訊息處理。Struggling learners need to find effective ways to make mathematics meaningful. Teachers need to be released from learned helplessness. Literature review showed that the answer lies in braiding together mathematics, language, and cognition（Allsopp, Kyger, & Lovin, 2007; 一、Social congruence theory Social congruence theory may explain why a teacher with a semantic network that more closely resembles that of the learner understands these needs more easily and can offer help more efficiently(Cornwall, 1979). Support for this ‘cognitive congruence’ hypothesis in peer teaching arrangements was provided by Moust & Schmidt (1995) and recently by Lockspeiser et al. (2006). This hypothesis pertains specifically to enhanced information processing by the students being taught. This assumption is related to a well known concept from educational psychology. Accoring to Vygotsky (1978), learning is optimized if a distance between what is already known and understood and what must still be learned is just enough to stimulate active inquiry by the student, a distance called the ‘zone of proximal development’, that evokes a constructive cognitive friction, which asks to be resolved (Ten Cate et al. 2004). 社會建構主義強調以語言作為學習數學的重要媒介，教師透過數學語言與學習者溝通數學知識，學習者也以數學語言與老師或其他同學溝通其解題想法、思考過程和結果等等，顯然學習者的數學溝通對數學學習有直接的影響，以言語作為鷹架的情況亦變得無法忽視。依據Wood, Bruner, Rose（1976）所提出的傳統鷹架觀點認為，鷹架是由成人或能力較高者提供符合學習者認知層次的支持、導引和協助，以幫助學習者由需要協助而逐漸能夠獨立完成某一任務，進而使其由低階的能力水準發展到高階的能力水準。 Near peers may sense this zone of proximal development much more easily than content experts, who may not always understand the cognitive problems student experience when processing new information (Topping 2005). In other words, a small distance between teacher and learner may foster learning because of cognitive congruence. 二、Role theory（Social congruence） Role theory and several adjoining theories explain why students in the position of a teacher build self esteem and may benefit on a motivational level. Other the other hand, students taught by peers may also be motivated to spend more effort in studying. According to Sarbin (1976), the social congruence aspect of role theory explains how in primary education cross-age tutoring (i.e. higher class children tutor younger ones), can stimulate the younger students. Children, asked to tutor younger kids, cannot use the same reward and punishment options as regulars teachers have at their disposal. They must therefore revert to other interpersonal rewards, such as offering friendship and serving as a role model. This theory may be less appropriate in higher education, but specifically where the choice is between large class lectures or student-led small groups teaching, the latter may indeed lead to a more personal attention and better enculturation and acceptance within the particular school climate. Additionally, one could imagine also that a trusting relationship with a peer who holds no position of authority might facilitate self disclosure of ignorance and cognitive errors, enabling subsequent diagnosis and correction (Topping 2005). Thus, according to role theory, a near-peer may be a better catalyst for learning then a more senior teacher, provided that this near peer has sufficient content expertise on the topic. Social and motivational aspects also apply to groups. Moust & Schmidt (1995) found student PBL tutors to be more interested in the daily lives, study experiences and personalities of those being taught than regular teachers, at least in the view of the students who were tutored. This was confirmed by the findings of Lockspeiser et al. (2006). Junior students are logically anxious to know what lies ahead and near-peers may serve as valuable role models and help build confidence in their peers: ‘just the confidence of knowing that the second years made it, if they know this, I can do it too’ (Lockspeiser et al. 2006). Students need to have faith in their skill to acquire knowledge (Weiner 1972); near-peers may help to reduce anxietly and to get this faith and thus foster learning. Also, the ‘hidden curriculum’, the set of unwritten rules that must be followed to ‘survive’ the programme, is largely transmitted by older to younger students. Clearly students are already important role models for their younger peers. They can even be of help to attract applicants for medical school in selection procedures (Drouin et al. 2006). This social congruence, or role congruence, has the potential to significantly influence student behaviour. Further, peer teachers may benefit from teaching, as it may stimulate high level processing of information during the phase of preparation as well as at the delivering of education. Well known sayings such as Socrates’ ‘docendo discimus’ (we learn by teaching) or ‘to teach is to learn twice’ allegedly said by the early eighteen century French philosopher Joseph Joubert (Whitman 1988) claim that teaching is an effective way of learning. An often cited, but not well founded hierarchy of teaching methods that leads to difference in recall of received information is the Bales’ Learning Pyramid. In this pyramid, listening to lectures would lead to 5% recall, whereas the bottom of the pyramid, teaching others, leads to 80% recall. We were not able to find the studies that have yielded these figures, but the comparison has some face validity, as many teachers confirm that their own teaching makes them understand and remember things much better than listening or reading. In a pre-/post- test randomized study, paediatric residents who were asked to teach 30 minutes gained significantly more knowledge, measured 6 to 8 weeks later (effect size0.84), than controls who were asked to listen to a 30 minute lecture on the same topic (Weiss & Needlham 1998). Earlier controlled studies by Dunkin & Hook (1978) reported a similar effect in the field of anatomy teaching. How can we explain this benefit from teaching? 三、Cognitive and meta-cognitive level of peer scaffolding learning Flavell (1976)是最早使用後設認知一詞的學者之一。他指出，後設認知是指個人對自己的認知過程與認知產物相關的知識，後設認知也就是為達成某一特定目標，對認知過程做主動監控、調整和指揮。Brown(1980)是另一位研究後設認知的代表性人物，他認為後設認知是指個人對自己有關思考和學習活動的知識，並且要知道如何去控制它。所以一個人有了自知之明，還要懂得如何自我經營(self-management)，包括自我偵測為達特定目的所使用的特定策略是否有效，以及自我檢查、自我修正與自我評估。因此，後設認知是人類在從事思考活動時的最高層系統，尤其是學生在從事數學解題時所使用的各種認知策略都是由後設認知所決定的。譬如學生碰到一道數學文字題時，他先判斷此題是屬何種性質的問題，然後由後設認知決定用何種認知策略來解題。數學解題歷程即認知的歷程，此項解題歷程會受到後設認知的影響。 Peer teaching, as it is addressed in this paper, is confined to a setting in which one student teaches one or more less advanced fellow students. This teaching includes more than the session together with the students. There is a phase of preparation and a phase of face-to-face teaching; the latter can be further divided into presenting information and interaction with students, both of which involve goal-oriented information processing and elaborated verbalization. Preparing for teaching calls for a different approach to study the materials than taking a written examination. Bargh & Shul (1980) showed in an elegant randomized experiment that psychology students who had been asked to study a text for 15 minutes with the task of teaching other students about it, scored higher on an unexpected written test than controls who were asked to study for this test. Scores were higher on recall and recognition questions and fundamental matter as well as details. To understand what happens when preparing for teaching, as compared to preparing for a test, it is helpful to think of the cognitive strategy that students use. Optimizing an anticipated test score means that the student must try to imagine what the teacher is likely to ask; this serves as a goal during reading and memorizing. Conversely, students who prepare for teaching can determine their own goals and priorities, choose how this subject matter should be explained, and anticipate how possible questions should be answered. The difference is that in the case of a test the student has no influence on the memory retrieval context, but in the case of teaching he or she has a large influence on this context. Personal goal setting during learning has been long recognized as being important for the learning effect, e.g., Bruner (1961) theory of discovery learning and by Ausubel (1963) when describing his theory of meaningful versus rote learning. Defining personal learning objectives is also a key element of problem-based learning (Schmidt 1989). Verbalization and recitation has also long been recognized as important for learning (Dewey 1910). Support for the benefit of verbalization in peer teaching in higher education settings has been demonstrated in experiments by Long (1971), Gaynor & Wolking (1974), Johnson et al. (1976) and Annis (1983). This may apply to both the presentation and interaction phases of teaching (De Grave et al. 1996). Verbal recitation of learned material has shown to be superior in some instances to other applications, such as discussion (Custers & Boshuizen 2002). In sum, for both the preparation and execution phases of teaching before an audience of peers or near peers, psychologial theory and empirical findings support a clear beneficial effect of the act of teaching on the acquisition of knowledge for the peer teacher. （二）數學解題與後設認知的關係 Pokay & Blumenfeld（1990）研究高中生的動機、學習策略和數學成就的關係。結果發現動機與後設認知策略皆與數學成就有關。Montague & Bos（1990）研究八年級學生，認為認知和後設認知能力與數學問題解決的表現有關。Montague、Bos ＆ Doucette（1991）更指出，數學成績較佳的學生，其後設認知能力較好。Dover & Shore（1991）的研究指出高成就學生比中成就學生有較多的後設認知知識，而且在高成就學生當中，數學解題快的學生又比慢的學生具有較多的後設認知知識。張景媛（1990）的研究也認為，後設認知能力不同，其學業表現也不同，後設認知能力較高者學業表現較佳。林清山、張景媛（1993）的研究提出，國中生的後設認知能力與數學解題策略之間有典型相關存在，後設認知能力的不同，會造成學生解題策略與解題執行上的差異，並且影響其學業成就。故本研究希望透過在數學教室中的數學對話與同儕互動，讓具有較佳解題策略的學生能夠提供他們的後設認知能力，作為數學同儕鷹架，以幫助數學中低成就的學生，讓他們能由這樣的歷程中獲益。 （三）後設認知的評量 後設認知的評量方法有相當多種，但使用上各有其限制與優缺點，因為個人的心理歷程是內隱的，很難直接加以觀察，再加上後設認知的概念，至今仍然是處於眾說紛紜，不具較統一的理論體系，所以對於後設認知的評量方法，也存在相當多的爭議 (涂金堂，1995)。後設認知方式常用的評量方式有放聲思考法(thinking aloud)、晤談法(interview method)、事後回溯法(recalling method) 、錯誤偵測法(error-detection method)、問卷調查法。 後設認知的評估方法各有其優點，亦各有其使用時之限制與缺失。因本研究主要在於檢驗學生的後設認知能力在數學同儕鷹架教學前後之差異，因此採用問卷調查法加以分析。 本研究所謂「數學同儕鷹架」，是指在學習歷程中，學習者在教師的引導下，透過同儕提供鷹架。由同儕較為精簡的數學語言與概念，在互動中幫助低成就學習者的數學概念逐漸變得具體，促進數學理解，並經由教師的引導與同儕之間合作討論數學，引發認知衝突，激發學生在近側發展區中的能力，與既有的數學概念相連結，增進數學概念的發展，且經由後設認知思維學習到數學的方法，有助於學習遷移，能有效提昇學習者的數學能力與認知發展（陳育琳、徐照麗，2007）。 Method Research Design 本研究主要採質性的群組個案研究設計，輔以量化的成對樣本前後測研究設計。質性部份探討國中數學低成就學生在同儕鷹架學習策略運作下，「樣式與規律」解題歷程的數學思維表現；量化部份在探討同儕鷹架學習策略對國中數學低成就學生後設認知與學習成效的影響（Greene & Caracelli, 1997; Johnson & Onwuegbuzie, 2004）。 Participants 本研究由研究者與一位國中數學教師協同進行。研究者在這個歷程中與協同教師一同對話、設計同儕鷹架教學策略，並共同解析研究發現。參與本研究的協同教師為數學研究所畢業，已完整的教過國中一、二、三年級學生一輪，同時亦擔任學校的數學領域召集人，對教材相當專業，且不斷在進修當中，對於教學法與相關教學資訊的接受，亦相當迅速。在本研究中研究者為半參與者，協同教學教師為完全參與者。 參與研究的學生為台灣中部某國中一個班級男生28位。該校過去是男校，近十年以來才開始招收女生，但因當地傳統觀念仍認為女生不該就讀男校，女學生就讀個案學校的人數很少，學校中男女學生數比例懸殊，因此研究對象班級全為男生。學生家長務農居多，父母多為家計而忙碌，關心子女但無瑕指導。另外，該班級每一學期都換導師，對班級狀況瞭解不易，常規問題層出不窮，幾乎每一回上課，教師總要先花許多時間處理打架狀況或其他糾紛，學生不僅學習成就極差，學習意願也相當低落。在升上二年級之後，由於校內的資源小組停辦，因此班上有5位原先屬於特殊教育的學生，回歸到個案班級（其中有一位聽障學生、一位情緒障礙學生、三位學習障礙學生，皆經過縣內心評小組鑑定），加上有一位應該是去年畢業的中輟生（有幫派背景與偷竊前科）復學，使得個案班級的狀況更為複雜。 在數學學習表現方面，該校依學生學業成就實施學科能力分組，研究對象為後段班當中的後段，大多數個案班級的學生早已習慣了在各科考試時，寫完姓名座號與選擇題之後，就趴著睡覺，數學教學實在是困難重重。但在本研究實施前，研究對象小組仍能完成老師指定的作業，提出以結構樣式與增長樣式類型為主的「樣式與規律」困難問題。在晤談中也針對這些問題表達他們起始的數學思維與困難點，如表1所示。 表 學生提出之困難數學問題與同儕鷹架解題前的數學思維
：p<.01 研究對象所提出的問題當中，例行性問題有5題，非例行性問題亦有5題。 例行性問題的解題歷程中，數學同儕鷹架的運作情況如圖4-3所示，圖中的虛線表示先出現以及較為抽象的同儕鷹架，實線則表示後出現以及較為具體的數學同儕鷹架。The participants ask for explanation at every opportunity and the scaffolding providers verbalize, reflect on, and communicate their understanding. By emphasizing students’ making personal meaning of mathematical ideas, they have come to make them their own. 圖4-3學生數學同儕鷹架運作圖（例行性問題） 非例行性問題在解題歷程中，學生需要較多的數學同儕鷹架支持。這些非例行性問題同儕鷹架的運作情形說明如下： （一）瞭解題意---轉化思維 解題歷程資料顯示，學生解題的障礙常發生在瞭解題意的部份，雖然不是看不懂題目，但是卻往往因為看錯條件、或是題意與數學概念無法連結而產生錯誤，而透過數學同儕鷹架的提供，能轉化學生的思維，幫助其開始解題的第一步。 （二）擬定計畫---後設認知思維 數學低成就的學生的自我覺察監控等後設認知能力，原本就比較弱，在數學同儕鷹架的運作當中亦顯示出這樣的趨勢。在十個例證當中，僅有4個例證的數學對話出現了後設認知思維，可見學生對於解題歷程的規劃與監控、理解都是較差的，就如同Frank（1979, 1982）的研究結果，學生遇到看起來不像例行性的問題時，會很快的放棄或逃避。他們相信，他們能夠解決的數學問題一定是在短時間內能解決的，花長時間解某一問題是沒有幫助的。假如他們花長一點時間去解某一道問題時，他們會認為必定是自己哪裡出錯了，不然就是題目有問題。這是個案班級中相當普遍的現象。而在數學同儕鷹架的運作之下，學習同儕發現原來他們原先認為有問題的題目，只要找出關鍵點，就可以做出來，對學生的數學解提示有幫助的。 （三）啟動執行計畫---樣式思維與關係對照、連結思維 大多數學生在看完題目之後，就開始執行解題的工作，而在個案班級當中，提供關係連結與對照思維作為數學同儕鷹架的有七個例證，以樣式思維作為解題關鍵的則有三題，似乎顯示了個案班級學生主要的問題在於數學概念與概念之間缺乏連結，在前述的七個例證當中，皆是如此。必須再透過數學同儕鷹架所提供的連結之後，方能啟動學生的解題歷程。個案班級的學生當中，能自行找出問題情境中的樣式以解題的情況很少，也顯示了學生的遷移能力較差。 （四）執行計畫歷程---直觀思維、形式思維、數學概念思維、計算思維 學生在執行計畫的歷程當中，常產生障礙，也需要較多的數學同儕鷹架提供協助，方能順利解題。因此，個案班級在非例行性問題的數學解題歷程當中，數學同儕鷹架的運作，大致可以表示如下： 圖4-4 學生數學同儕鷹架運作圖（非例行性問題） 在學生的解題歷程當中可以發現，個案班級學生大多固著於形式思維的解題，當解題歷程當中出現了有些數字無法直接代入的情形時，他們幾乎就會放棄解題了。因此，個案班級的學生要能順利解題，不僅需要較多的關係連結與關係對照思維作為數學同儕鷹架支持，還需要學習同儕提供較多的概念思維、計算思維與轉化思維，來作為銜接與支持，方能完成數學解題。 而多元解題的數學同儕鷹架在個案班級的解題歷程中，雖有出現，但是並不多見，且同儕所提供的多元解題方式，仍大多以數的方式去做推算，而非以代數方式去做符號化的演算，可見個案班級的學生，仍處於由具體運思期過渡到形式運思期的期間。 研究發現的另一個重點是個案班級學生的解題歷程中，後設認知思維出現的次數佔了八成，即使是數學低成就的學生，亦不是完全沒有解題計畫，在課前晤談當中亦發現，個案班級學生在解題歷程中，往往也知道要往哪一個方向去做，或知道自己可能做錯了，但卻不知道如何更正。這樣的問題在傳統以教師為中心的教學當中，幾乎無法解決，而透過數學同儕鷹架的支持，方能逐漸提供符合其近側發展區所需要的協助，幫助班上大多數學生的近側發展區繼續發展並擴充，以獨立完成學習目標。 從過去以來，在個案班級上課的各科教師，大都要花極長的時間在班級秩序的管理，甚至在任課老師之前常流傳著這樣的一段話：「去他們班上課，前20分鐘要讓他們靜下心來聽課，處理他們上一節課的糾紛，後20分鐘要避免他們等著下課而開始浮躁，所以就只剩下5分鐘真的可以上課了，當然上不到什麼內容…」（教師談話06/25），同儕鷹架學習策略實施之後，老師在個案班級中的主要任務，除了鼓勵學生說出自己的想法：「那S11上台講一下吧！」（錄音錄影轉錄07/22）；「那請S10上台來說一下你的看法好嗎？」（錄音錄影轉錄08/12），鼓勵學生發問：「同學好像聽不太懂哦！你們哪一個式子不了解，還是不知道為什麼要這樣做，趕快舉手問哦！」（錄音錄影轉錄07/13），鼓勵學生聆聽他人的想法，並在學生爭論不斷時，提供適當的引導，最重要的是在解題歷程的結束之後，引導學生做出結論，並提供回饋。由於學生的學習興趣獲得了提升，維持班級秩序反而變得不再那麼重要，甚至在班級與小組之間，也變得較能自律。錄音錄影內容顯示，在10題解題例證中，教師只出現三次發言，其中一次鼓勵學生發問，另二次鼓勵學生提供鷹架。 個案班級的數學對話內容顯示，能力較佳的同儕提供較多的鷹架，雖然這些鷹架大多是已經過精緻化、符號化的結果，但透過其他同儕不斷地提問，讓學習同儕的思緒不斷回溯，回溯其解題歷程，學生不僅看到結果與歷程，也看到方法。 Final Thoughts—Implications for PracticeNeed more work. How could we change low achiever's attitude and competence in managing mathematics? Teaching math to middle school low achievement students is a big challenge. Trying to keep every student engaged and interested could seem an impossible mission. On top of that, there is the issue of many middle school students coming into the classroom with the attitude of "I am terrible at math. I have always been and will always be, and therefore I'm not even going to try because I know I will fail." With peer scaffolding, we saw student engagement and response to the approach amazingly improve—a world of students discussing and talking through math problems, regardless of ability levels or past experiences in math classes. References Baltimore, MD: Brookes Publishing Co, 2007. Ashcraft, M. H., & Krause,J. A. (2007). //Working// //memory////,// //math// performance, and //math// anxiety. Psychonomic Bulletin & Review, 14(2), p243-248. Beauchamp, M. H., Thompson, D. K., Howard, K., Doyle, L. 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peer-scaffolding
Theory into Practice
International Journal of Mathematics Education
Introduction
國中學生數學學習成就與態度現況
國際教育成就調查委員會（International Association for the Evaluation of Educational Achievement ,IEA）2007年的「國際數學與科學教育成就趨勢調查」（TIMSS）結果顯示，台灣國二的數學成績一舉拿下世界第一，其中的推理（reasoning）和代數（algebra）成績也都排名第一；台灣小四數學則拿下第三（576, 1.7），顯著低於香港（607, 3.6）和新加坡（599, 3.7）。相較於4年前台灣的國二數學與小四數學皆為第4，排名上有明顯的進步（Mullis, etc., 2008）。
國中數學學習問題的教學問題
然而，2007TIMSS報告也顯示：台灣國二學生未達數學中等程度的低分比例為14%，相較於新加坡與韓國，低分比例偏高；此外，台灣國二學生在數學的「學習正向態度」和「自信心指標」皆低於國際平均值，國二生自信心指標更名列50個受測國家的第46，這種學業成就與態度趨勢的對比與落差，以及低分學生比例偏高的現象，實值得探究。究其原因，台灣整體數學教育成就締造的亮眼成績，或許得力於得高分學生的家長關心孩子的課業、社會有很高期待、學校老師的努力，以及學生有足夠的練習。但在教學現場，仍普遍存在進度與效率的迷思，老師講、學生聽的傳統教學方式仍然是主流，在強調教學進度、許多講述、大量練習、快速解題的情況下，成就較好學生的學習變成背公式、追求解題速度（表），其結果是學生對於解數學問題或許可以熟練，卻在新奇及變化的情境中不知如何思考，而導致學生認為數學課是無聊的，甚至演變成數學無用論（蔡文煥，2004），加上頻繁的考試壓力，導致許多學生失去信心，甚至不喜歡數學；而低成就的學生，或許累積了一些數學概念，但數學的邏輯靠有限的概念無法連結，無法順利解題，挫折導致上數學成為他們的夢靨，甚至是老師習得的無助(learned helplessness)：「去他們班上課，前20分鐘要讓他們靜下心來聽課，處理他們上一節課的糾紛，後20分鐘要避免他們等著下課而開始浮躁，所以就只剩下5分鐘真的可以上課了，當然上不到什麼內容…」（教師談話06/25）。教學不足，學生逃避數學的惡性循環，是許多老師心知肚明的事實，遑論學習成就。
表 Exhibit 7.6 Students’ Reports on Learning Activities in Mathematics Lessons
教師對學生數學認知的認知落差can be a key factor in developing math difficulties for students. Many researchers believe that weak instruction is frequently mistaken for a mathematics disability. While many students, perhaps even a majority, can tolerate mediocre instruction, a large percentage of students cannot（Tapper, 2008）. Research at Vanderbilt University by Lynn and Doug Fuchs predict, based on research with large student populations, the vast majority of students who struggle with mathematics do so because the instruction they received was inadequate to their cognitive needs. Researchers call these students who struggle from inadequate instruction “instructional casualties.”
社會化的歷程可以促進數學的學習（ ），但許多研究者皆提到鷹架理論在大班教學中實施的困難（李永吟、單文經，1995；Lerman, 1996; 潘世尊，1997），主要是在於班上學生的人數多，每個學生的「近側發展區」皆不相同，要搭起適合每個學生的學習鷹架幾乎是不可能的事。而基於鷹架理論所發展出來的合作學習，雖然將人數降低到每組只有4~6人，透過小組合作學習的方式，讓同儕之間相互教與學的影響來提升整體的學習狀況，然而在實際的運作上，卻常因為小組成員缺乏對合作學習的了解及技巧的訓練，導致目標不一致，人多嘴雜，向心力不足，學習機會不均等、部分學生參與度不高、只分工不合作的現象，而無法達到預期的學習效果，喪失了原本合作學習中同儕相互激勵的美意（黃善美、黃萬居，2003）。人數更少的同儕交互指導（reciprocal peer tutoring）、同儕輔助學習（peer-assisted learning），或同儕師徒制（peer mentoring），在同儕指導的學習內容方面，主要在幫助其學習態度與知識記憶、理解與應用的較低層次認知，較少觸及到較高層次的分析、綜合與評價的認知行為（Kroeger & Kouche, 2006）。 In addition, significant gaps in student partners’ abilities are often found in traditional tutoring relationships，在同一個班級內依學生能力強弱分組結果，也容易造成分類及標籤學生的現象。因此，研究者認為，同儕互動時若人數少，社會互動不充分，導致鷹架不符合個體的近側發展區，也不能完全的學習；而教師分身乏術，也比較不容易即時掌握全體學生或個別學生的代數思維，提供必要的協助，致使教學不足。
樣式與規律的推理在推理研究中雖然不是主流，但卻於數學及科學教育界越來越被重視，它更是國中數學課程的核心。根據2007TIMSS Report, At the eighth grade 的數學課程, on average internationally, teachers reported devoting 29 percent of the mathematics instructional time to algebra, while only 24 percent to number, 27 percent to geometry, 13 percent to data and chance, and 7 percent to other areas.
傳統代數在國中的課程編排上，數學內容多以邏輯結構為主，由淺入深以螺旋式的方式來進行，無非是希望學習者能奠定日後學習數學的基礎，但學習者的認知心理邏輯卻往往被忽視，例如：老師經常在學習者還沒掌握到符號的意義時，便操作了一大堆的符號，學習者並未從具體的算術過渡到抽象的代數，因此往往只知其然卻不知其所以然。同時，許多研究（Booth, 1988; Greenes & Findell, 1999; 李美蓮，2004; 李佩玟，2006）指出大部分的國、高中生接觸到正式的代數內容之前，代數主題的前置經驗可說相當貧乏，從具體操作到抽象公式之間，此學習歷程中的轉型現象，也很少被教學者注意到，因此，在以算術為基礎的課程轉化為以抽象代數想法或理解為重的學習過程裡，學習者都普遍的感到困難。
基於上述之理由，本研究試圖以「樣式與規律」作為課程內容，以符合近側發展區原理的同儕鷹架為策略，探討學生在數學解題歷程當中數學同儕鷹架的運作，並比較教學前、後，學生後設認知能力與數學學習成就之差異。
研究目的
一、 探討同儕鷹架教學策略對國中低成就學生「樣式與規律」數學思維的影響。
二、 探討同儕鷹架教學策略對國中低成就學生「樣式與規律」後設認知能力的成效。
三、 探討同儕鷹架教學策略對國中低成就學生「樣式與規律」學習成就的成效。
Theoretical Framework
數學的學習注重循序累進的概念與邏輯結構， The National Council of Teachers of Mathematics（2000)主張數學解題的認知歷程主要包括問題解決（problem solving）、推理和證明（reasoning and proof）、溝通（communication）、連結（connections）以及表徵（representations），過程中需要運用許多數學概念與概念的連結才能順利解題，這些概念都跟人類訊息處理機制當中的工作記憶息息相關。
壹、工作記憶影響學生的數學認知
The cognitive literature has shown how critically math performance depends on working memory, for any form of arithmetic and math that involves processes beyond simple memory retrieval such as non-verbal reasoning（Ashcraft ＆Krause, 2007; Owens, Stevenson, Norgate, & Hadwin,2008； Bull, Espy, & Wiebe, 2008）. Developmental, psychological, neuro-scientific perspectives
一、Developmental Factors Contribute to Working Memory
認知心理取向將解題歷程主要區分為問題表徵(problem representation)和解決問題(problem solution)兩個階段。問題表徵將文字或圖案轉換成心理表徵，又可分成兩個子步驟：1.問題轉譯(problem translation)：將每一句子或主要詞句轉譯為內在心理表徵，需要良好的語言與語意知識；2.問題整合(problem integration)： 整合要將問題的敘述結合成連貫的表徵，需要良好的基模知識(schematic knowledge)，以區分問題的類型。問題解決是從問題的心理表徵進行到最後答案的過程，又可分為兩個子步驟：1.解答的計劃與監控( solution planning and monitoring )：需具備解決問題的策略知識；2.解答的實施(solution execution)：需要以程序性知識來有效且正確地應用算式以執行計算工作。因此解題是一個概念不斷提取與運作的 self-reflective learning loop。From a developmental perspective, low achievers have cognitive differences that make it more difficult for them to understand and work with mathematical concepts. Consequently, their math problem-solving results are not reliable for the associated learning which makes the self-reflective learning loop break down.
Geary and colleagues (2007) have suggested that these difficulties come into play during three important cognitive processes: working memory, phonological processing, and visual-spatial processing.
Regarding the role of phonological processing in math concept learning, Swanson & Kim (2007) explored the contribution of two WM systems (the phonological loop and the central executive) to mathematical performance in young children. The results showed that a two-factor structure separating short-term memory (STM) and WM tasks predicted individual differences in mathematical performance. WM was independent of the contribution of STM and naming speed in predicting children's mathematical performance. However, these basic capacities correlated substantially with the math performance factor, and jointly accounted for over 74% of the Math Performance factor. The results were interpreted as support for the notion that both the central executive system (controlled attention) and storage system of WM predict children's math performance.
Kyttälä (2008) investigated whether the visual-spatial working memory (VSWM) skills of 15-16-year-old pupils with difficulties in mathematics differ from those of their normally achieving peers. A set of passive and active VSWM tasks was used. Whether pupils with mathematical difficulties differed in their VSWM skills based on whether they had signs of reading deficits or not was also investigated. Results indicate that the pupils with poor performance in math showed poorer performance on certain VSWM tasks. The group with deficits only in math had less capacity for storing passive visual simultaneous information, while the group with difficulties both in math and reading had deficits in both storing (passive visual and visual-spatial information) and processing, and had less ability to control irrelevant visual-spatial information compared to their peers of the same age. The results indicate a general VSWM deficit in pupils with both mathematics and reading problems and a specific VSWM deficit in pupils with only mathematics problems.
In a study examining whether measures of short-term memory, working memory, and executive functioning in preschool children predict later proficiency in academic achievement at 7 years of age (third year of primary school), Swanson & Kim (2007) found that visual-spatial short-term memory span was found to be a predictor specifically of math ability. Further, visual short-term and working memory were found to specifically predict math achievement at each time point, while executive function skills predicted learning in general rather than learning in one specific domain. In this study, children were tested in preschool (M age = 4 years, 6 months) on a battery of cognitive measures, and mathematics and reading outcomes (from standardized, norm-referenced school-based assessments) were taken on entry to primary school, and at the end of the first and third year of primary school. Growth curve analyses examined predictors of math and reading achievement across the duration of the study and revealed that better digit span and executive function skills provided children with an immediate head start in math and reading that they maintained throughout the first three years of primary school.
二、Psychological Factors Contribute to Working Memory
While there are developmental and educational factors that may contribute to individual management of working memory (Balthazar, 2003; Beauchamp, M. H., Thompson, D. K., Howard, K., Doyle, L. W., Egan, G. E., Inder, T. E., & Anderson, P. J., 2008; etc.), the psychometric literature is also very clear on the global consequences of mathematics anxiety. In Beilock & DeCaro’s study (2007), one experiment demonstrated under low-pressure conditions, the lower individuals' WM, the better their performance. And, under pressure, higher WM individuals performed optimally by using the simpler strategies lower WM individuals employed. WM availability influences how individuals approach math problems, with the nature of the task performed and the performance environment dictating skill success or failure.
High math anxiety works much like a dual task setting: Preoccupation with one's math fears and anxieties functions like a resource-demanding secondary task. A stressful environment can adversely affect the success students have in solving math problems. The work examining how unwanted failure in math occurs and individual differences in those most likely to fail suggests that a high-stress situation creates worries about the situation and its consequences that compete for the working memory (WM) normally available for performance. Consequently, the performance of individuals who rely most heavily on WM for successful execution (i.e., higher-WM individuals) is most likely to decline when the pressure is on (Beilock, 2008).
Learning can be viewed as the extension of an existing knowledge base. The organization of knowledge in long term memory has been described by early cognitive psychologists as a semantic network of concepts and relations between them (cf Lindsay & Norman 1977) and learning as adjustment of the network by accretion (adding information), restructuring (modification of cognitive schemas) and tuning (fine adjustments for adequacy and efficiency). From this view, learning is the adjusting of a prior knowledge base and teaching is helping to do this. Teachers who have more elaborated and differently structured semantic networks than students can have difficulty understanding students’ cognitive problems and needs.
三、The neuro-scientific evidence of peer scaffolding
Findings in neuroscience using MRI to examine the neural basis of higher order cognition have indicated the learning cycle of sensing, integrating, and acting based on the structure of the brain. The structures of the brain used in this cycle include the sensory cortex, the integrative cortex, and the motor cortex. Further, Functional neuroimaging studies of endogenous cued attention suggest that a fronto-parietal attentional network keeps track of current task objectives in working memory and enhances activity in posterior sensory regions that underlie the perceptual processing of behaviorally relevant stimuli. Relatively little is known, however, about whether consciously perceived, irrelevant instructional cues can hijack the attentional network, leading to an enhancement of the perceptual processing of irrelevant stimuli. Using a cross-modal attentional cueing task in combination with functional magnetic resonance imaging, we found that such irrelevant cues can indeed hijack the attentional network, as indexed by increased activity in (a) frontal regions that control attention and (b) sensory cortices that underlie the perceptual processing of task-irrelevant stimuli. Furthermore, we found that in left ventrolateral (but not dorsolateral) prefrontal regions, the magnitude of this increased activity varies with whether an irrelevant instructional cue is presented simultaneously with (versus after) a relevant instructional cue. These findings show that consciously perceived, irrelevant instructional cues can activate inappropriate task objectives in working memory, resulting in a hijacking of the attentional network. Moreover, they reveal different time courses of hijacking effects in ventrolateral and dorsolateral prefrontal regions, consistent with models in which these regions make distinct contributions to cognitive control（Moore, Porter, & Weissman, 2009）. This information provides direction and strategies such as the application of constructivist education principles for mathematics teachers that align with the principles of the learning cycle（Zambo & Zambo, 2008）.
貳、樣式與規律的代數思維（algebra thinking）
樣式推理活動不僅強調從數量規律為起點的歸納推理，並可衍生演繹推理的活動(Fernandez, & Anhalt, 2001)，也就是學生根據問題中的線索，透過歸納推理來找出樣式、確認樣式，更進一步將樣式一般化（generalize），而後以此樣式規則達成解題目的。
（一）樣式與規律的內涵
pattern與規律性密不可分。張春興（1989）以認知心理學的觀點來解釋 pattern，意指在極短時間內對字形、符號或圖形等刺激能夠辨別認識。本研究將pattern視為一種廣義的規律性，而不是普遍的數學律則。
樣式標示了物件間隱藏的規律關係，而這些物件並不必然是圖畫式的，也可以是數字、抽象的關係、甚至是思維模式。Owen(1995)大略將樣式區分為以下三種類型，此三類型均會出現在國中數學課程中。
1、重複樣式（repeating patterns）
此樣式重點在於循環或重複（cycle）的概念(Owen, 1995)，意指一系列特定的特質，例如顏色、形狀、方向、大小、聲音、數字或其他元素會一直重複出現，例如紅色―紅色―藍色或是正方形―三角形―圓形―正方形―三角形 ― 圓形。此循環不僅可以在單一特質上，也可以多個特質一起變化，例如 Threlfall(1999)曾經指出「□ ○ □ ○ □ ○ □ ○ □ ○ □ ○ □ ○ □ ○」，在大小特質上的變化是「小、小、大、小、大、大、小、大」週期長度為8的循環，而在形狀特質上的變化是「方、圓、方、圓、方、圓」週期為2的循環，於是兩個特質的規律組成起來就會呈現上述的樣子。只要學習者能夠找出其重複樣式的循環週期，即可使用相同單位去辨認、複製及創造重複樣式。但由於國中數學課程中，逐漸引入文字符號並作抽象邏輯思維，因此，重複樣式類型的題目對學生而言，困難度較低。
2、結構樣式（structural patterns）
此樣式強調結構的存在(Owen, 1995)，結構意味著概念之間的聯繫，也就是從一組有關連性的事物中發現一些特質。例如會問說5是如何組成的？也就是再問5可以有幾種不同的組成方式？此時則有 4+1＝5、3+2＝5、2+3＝5、1+4＝5 的答案出現，甚至可以分成更多群，例如 1＋1＋3＝5、1＋1＋1＋2＝5、或是 2＋2＋1＝5，所謂的結構樣式就存在於前述一組有關連性的等式中，因而，在國中以後的等量公理之類的等式，或不等式都存在著一些性質，例如 a1＞b1，a2＞b2，則a1＋a2＞b1＋b2等，其實都是屬於結構樣式的議題。結構樣式的察覺看似容易，對那些尚以算術思維為重的學習者來說有時卻很困難，乃因學習者受課程重視數的計算及數量關係之影響，多無法超越算則的重複運算的困境，以致於無法透徹理解數與運算背後潛藏的結構樣式，因此孩童需培養代數思維，才得以讓相聯繫的概念間產生結構性的改變。
3、增長樣式（growing patterns）
此樣式是用可預測的方式來改變一個數值，例如樹的年輪每年都會增加一圈 (Copley, 1998；2003)，此預測方式亦為一系列項目中所隱藏的一套規則，規則隱含著運算，使得前項透過規則的應用可衍生出後項，而後形成一系列項目，各個項目均具有數量意義。其內涵於 Owen (1995)的分類中稱為序列（sequences），研究者認為兩者所述一致，故統稱增長樣式。增長樣式的發生常不是線性的，所以學習者很容易在自然環境中發現它們的存在，直到樣式完全形成(Copley, 1998；2003)。
在正式課程活動中，此類型以數字序列（以下簡稱數列，series）最為典型，如等差數列、等比數列、巴斯卡三角形數。數列意指一系列非重複的數值，隨著一種規則增長所組成(Owen, 1995)，例如「5，10，15，20，…」，是開始於5，每項次為前一項次加5的數列，或是「14，24，34，…」，則是開始於14，每項次為前一項次加10的數列。另外也可以發展三角形數（3，6，10，15）、正方形數（如 4，9，16，25）等課程內容，此是藉由圖形變化轉化為數量關係，所創造出的數列，三角形數為下圖，數列的數量關係隱含邊長與個數關係，正方形數亦然。
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二、樣式與規律的推理歷程理論
李佩玟(2006)整理修改自Sternberg與Gardner(1983)的數列推理認知歷程理論。以下首先針對（圖2-4）中各個階段的意涵加以說明，接著與其他理論或文獻對照比較。
圖2-4 數列推理解題之認知歷程模式（李佩玟，2006，頁，63）
（一）解釋各階段的意涵
李佩玟(2006)將第一階段稱為編碼，亦指將數列推理問題中的每個項次輸入工作記憶（working memory），以確定每個項次的數字。數列可能包含是單一數串（string1）「a1、a2、a3、a4、」的數列，簡稱單一數列，以及由二個以上數串交錯所組成的數列，如「a1、b1、a2、b2、a3、b3、a4、b4、 」即為複合多數串的數列，簡稱複合數列。
（二）第二階段即是數列推理的重心所在，也是研究者有興趣研究的焦點。
解題者必須察覺、辨識出數列的規律性，才得以類化其規則順利解題，因此此一階段可將它統整稱為發現樣式，其中包括單位化、計算與推論、映射三個步驟。
「單位化」的步驟中包含兩個要點，第一要點為分析數串個數，由於數列分為單一數列及複合數列兩種，遇到複合數列「a1、b1、a2、b2、a3、b3、a4、b4」 時，解題者必須先將整個數列分為「a1、a2、a3、a4」與「b1、b2、b3、b4」兩個數串，再根據數串之間的規律，發現整個數列樣式而後解題。
所以，為發現樣式必須先分析數列的數串個數，解題者能利用多種方式來表示正在從事單位化的運作，例如「a1、b1、a2、b2、a3、b3、a4、b4、_」，即可知解題者正在區分兩個數串；另一要點為發現週期長度，其計算方式必須以單一數列為基點，週期長度為完整循環週期裡所包含的項次，舉例「2、4、6、8、10」的週期長度為1，費波納契數列「1、1、2、3、5、8、13、21 …」，此為單一數列中特殊的數列，其週期長度為3，關係式為f1＝1，f2＝1，fn＋1＝fn＋fn－1，其中 n≧2，解題者必須先知道將鄰近三項切成一單位，從三項間推論某特定關係，然後再一一比對多組關係才能發現樣式規則。至於，複合數列週期長度的計算，則為該數列中子系列的週期長度所組成。因此，解題者想要發現正確的週期長度，則必須將複合數列拆為多個單一數列或將整個數列視為單一數列，才能針對此數列的所有項次切成多個關係單位。
接下來，發現樣式中的第二步驟為計算與推論，亦即運用各種算術能力計算項次階差，推論鄰近項次之間的關係。若以單一數列且週期長度為 1 的數列來舉例，意指計算多組鄰近二項之間的數字，以發現兩者的關係，也就是在找尋a1→a2、a2→a3及a3→a4的關係。發現樣式的最後一個步驟即為映射，亦即發現各組之間的共同關係。假若仍以單一數列且週期長度為1的數列來舉例，指的是經由發現多組二項之間的關係來進行對應的工作，將a1-a2關係映射至a2-a3及a3-a4關係上，然後從中找出共同的數量關係，便能發現數列中隱藏的樣式規則。
特別需要注意的是，在數列推理解題過程中此三步驟單位化、計算與推論、映射可能會持續循環進行，或者只是計算與推論和映射兩階段交互進行，直到數列所有項次間的關係映射成功為止，也就是找到此數列的規律性，如此才算是真正發現樣式。然而，數列隱藏的樣式規則之難度，決定了此三步驟的循環路徑，進而影響解題者發現樣式的時間，例如數列「2、4、8 、10、32、16、_」，解題者可能會先視之為單一數列，利用後項－前項推論彼此關為「＋2 、＋4、＋2、＋22」，然而在＋22 無法映射成功，於是可能重新尋找鄰近項次之間的關係，也就是重新回到計算與推論步驟，或是回到單位化步驟，將數列分成兩個子系列，以繼續找尋數列的規則，若為前者則是重新推論二項之間的關係×2、×2、×1.25，於是在×1.25部分又發生映射失敗時，才可能漸而發現此數列其實為2、8、32以及4、10、16兩個數串差錯組成的數列，最後再循序漸進地發現整個數列的樣式，由此可證明在發現樣式的階段中，其中的三步驟循環路徑會因解題者的能力與解題習性之差異而有所不同。
當發現整個數列的樣式規則後，則需經過應用或類化的階段來解題，也就是針對問題的要求，應用映射過程中所找到的樣式規則，計算出下幾項的數字為何、或者數列的某一數字不符合其樣式規則…等問題，更甚者能將數量關係以函數來分析、解釋，亦即將算則化成一般化的符號規則來詮釋數量關係，以解決未知數n項為何、預測某一數字是否會出現於數列中…等問題。由此看出，類化的層次會有所不同，當要求學童預測數列的下一、二項數字，只要受試者運用算術思維即可解題；倘若必須回答未知數n項為何之問題，受試者則必須具備完整的代數思維才可順利列式。根據 Sfard(1991)的論點，學生探討樣式規律的問題時，會先出現運算性的思維，此時著重利用數量的計算求出答案的過程，為求解所列的運算式僅是思考的紀錄，直接聯結題目與答案的橋樑，當透過操作運算、學生能熟練並掌握自己的解題步驟後才能清楚其規律，並能將算式賦予意義，最後才有辦法過渡到一般化的抽象代數思維，此時倚重關係的符號化及其運算，運算式的功用不再只是直接聯結問題與答案之間的過程記錄，也充當一種問題轉譯的角色。
此外，在數列解題過程中，由於解題習性與解題策略因人而異，部分受試者在「a1、a2、a3、a4、__」的數列解題中，可能映射a1-a2與 a2-a3的關係之後，立刻猜測其規律性， 然後應用此關係由a3計算出a4，而後發現答案確實與a4吻合，而更加肯定整個數列的樣式規則，最後依照題目所要求再次應用此規則來解題，個體解題策略之差異，導致對少部分解題者來說，可能在數列給定項次的後面幾項即已處理到應用/類化之認知成分，而非等到找到所有給定項次之間的共同關係後才能應用/類化數列樣式來解未知項次，但無論怎樣，整個數列解題之認知歷程中每個階段的順序大致不變，由於受試者的解題習性不是研究者事先能夠預測的，也非本研究焦點，故此情況不影響本研究所探討的焦點。
叁、The psychology of peer scaffolding for low achievers math cognition
從工作記憶對數學的影響，提昇工作記憶的capacity，或減少工作記憶的干擾，有助於提升低成就學生在數學解題時進行訊息處理。Struggling learners need to find effective ways to make mathematics meaningful. Teachers need to be released from learned helplessness. Literature review showed that the answer lies in braiding together mathematics, language, and cognition（Allsopp, Kyger, & Lovin, 2007;
一、Social congruence theory
Social congruence theory may explain why a teacher with a semantic network that more closely resembles that of the learner understands these needs more easily and can offer help more efficiently (Cornwall, 1979). Support for this ‘cognitive congruence’ hypothesis in peer teaching arrangements was provided by Moust & Schmidt (1995) and recently by Lockspeiser et al. (2006). This hypothesis pertains specifically to enhanced information processing by the students being taught. This assumption is related to a well known concept from educational psychology. Accoring to Vygotsky (1978), learning is optimized if a distance between what is already known and understood and what must still be learned is just enough to stimulate active inquiry by the student, a distance called the ‘zone of proximal development’, that evokes a constructive cognitive friction, which asks to be resolved (Ten Cate et al. 2004).
社會建構主義強調以語言作為學習數學的重要媒介，教師透過數學語言與學習者溝通數學知識，學習者也以數學語言與老師或其他同學溝通其解題想法、思考過程和結果等等，顯然學習者的數學溝通對數學學習有直接的影響，以言語作為鷹架的情況亦變得無法忽視。依據Wood, Bruner, Rose（1976）所提出的傳統鷹架觀點認為，鷹架是由成人或能力較高者提供符合學習者認知層次的支持、導引和協助，以幫助學習者由需要協助而逐漸能夠獨立完成某一任務，進而使其由低階的能力水準發展到高階的能力水準。
Near peers may sense this zone of proximal development much more easily than content experts, who may not always understand the cognitive problems student experience when processing new information (Topping 2005). In other words, a small distance between teacher and learner may foster learning because of cognitive congruence.
二、Role theory（Social congruence）
Role theory and several adjoining theories explain why students in the position of a teacher build self esteem and may benefit on a motivational level. Other the other hand, students taught by peers may also be motivated to spend more effort in studying. According to Sarbin (1976), the social congruence aspect of role theory explains how in primary education cross-age tutoring (i.e. higher class children tutor younger ones), can stimulate the younger students. Children, asked to tutor younger kids, cannot use the same reward and punishment options as regulars teachers have at their disposal. They must therefore revert to other interpersonal rewards, such as offering friendship and serving as a role model. This theory may be less appropriate in higher education, but specifically where the choice is between large class lectures or student-led small groups teaching, the latter may indeed lead to a more personal attention and better enculturation and acceptance within the particular school climate. Additionally, one could imagine also that a trusting relationship with a peer who holds no position of authority might facilitate self disclosure of ignorance and cognitive errors, enabling subsequent diagnosis and correction (Topping 2005). Thus, according to role theory, a near-peer may be a better catalyst for learning then a more senior teacher, provided that this near peer has sufficient content expertise on the topic.
Social and motivational aspects also apply to groups. Moust & Schmidt (1995) found student PBL tutors to be more interested in the daily lives, study experiences and personalities of those being taught than regular teachers, at least in the view of the students who were tutored. This was confirmed by the findings of Lockspeiser et al. (2006). Junior students are logically anxious to know what lies ahead and near-peers may serve as valuable role models and help build confidence in their peers: ‘just the confidence of knowing that the second years made it, if they know this, I can do it too’ (Lockspeiser et al. 2006). Students need to have faith in their skill to acquire knowledge (Weiner 1972); near-peers may help to reduce anxietly and to get this faith and thus foster learning.
Also, the ‘hidden curriculum’, the set of unwritten rules that must be followed to ‘survive’ the programme, is largely transmitted by older to younger students. Clearly students are already important role models for their younger peers. They can even be of help to attract applicants for medical school in selection procedures (Drouin et al. 2006). This social congruence, or role congruence, has the potential to significantly influence student behaviour.
Further, peer teachers may benefit from teaching, as it may stimulate high level processing of information during the phase of preparation as well as at the delivering of education. Well known sayings such as Socrates’ ‘docendo discimus’ (we learn by teaching) or ‘to teach is to learn twice’ allegedly said by the early eighteen century French philosopher Joseph Joubert (Whitman 1988) claim that teaching is an effective way of learning. An often cited, but not well founded hierarchy of teaching methods that leads to difference in recall of received information is the Bales’ Learning Pyramid. In this pyramid, listening to lectures would lead to 5% recall, whereas the bottom of the pyramid, teaching others, leads to 80% recall. We were not able to find the studies that have yielded these figures, but the comparison has some face validity, as many teachers confirm that their own teaching makes them understand and remember things much better than listening or reading. In a pre-/post- test randomized study, paediatric residents who were asked to teach 30 minutes gained significantly more knowledge, measured 6 to 8 weeks later (effect size0.84), than controls who were asked to listen to a 30 minute lecture on the same topic (Weiss & Needlham 1998). Earlier controlled studies by Dunkin & Hook (1978) reported a similar effect in the field of anatomy teaching. How can we explain this benefit from teaching?
三、Cognitive and meta-cognitive level of peer scaffolding learning
Flavell (1976)是最早使用後設認知一詞的學者之一。他指出，後設認知是指個人對自己的認知過程與認知產物相關的知識，後設認知也就是為達成某一特定目標，對認知過程做主動監控、調整和指揮。Brown(1980)是另一位研究後設認知的代表性人物，他認為後設認知是指個人對自己有關思考和學習活動的知識，並且要知道如何去控制它。所以一個人有了自知之明，還要懂得如何自我經營(self-management)，包括自我偵測為達特定目的所使用的特定策略是否有效，以及自我檢查、自我修正與自我評估。因此，後設認知是人類在從事思考活動時的最高層系統，尤其是學生在從事數學解題時所使用的各種認知策略都是由後設認知所決定的。譬如學生碰到一道數學文字題時，他先判斷此題是屬何種性質的問題，然後由後設認知決定用何種認知策略來解題。數學解題歷程即認知的歷程，此項解題歷程會受到後設認知的影響。
Peer teaching, as it is addressed in this paper, is confined to a setting in which one student teaches one or more less advanced fellow students. This teaching includes more than the session together with the students. There is a phase of preparation and a phase of face-to-face teaching; the latter can be further divided into presenting information and interaction with students, both of which involve goal-oriented information processing and elaborated verbalization.
Preparing for teaching calls for a different approach to study the materials than taking a written examination. Bargh & Shul (1980) showed in an elegant randomized experiment that psychology students who had been asked to study a text for 15 minutes with the task of teaching other students about it, scored higher on an unexpected written test than controls who were asked to study for this test. Scores were higher on recall and recognition questions and fundamental matter as well as details. To understand what happens when preparing for teaching, as compared to preparing for a test, it is helpful to think of the cognitive strategy that students use. Optimizing an anticipated test score means that the student must try to imagine what the teacher is likely to ask; this serves as a goal during reading and memorizing. Conversely, students who prepare for teaching can determine their own goals and priorities, choose how this subject matter should be explained, and anticipate how possible questions should be answered. The difference is that in the case of a test the student has no influence on the memory retrieval context, but in the case of teaching he or she has a large influence on this context. Personal goal setting during learning has been long recognized as being important for the learning effect, e.g., Bruner (1961) theory of discovery learning and by Ausubel (1963) when describing his theory of meaningful versus rote learning. Defining personal learning objectives is also a key element of problem-based learning (Schmidt 1989).
Verbalization and recitation has also long been recognized as important for learning (Dewey 1910). Support for the
benefit of verbalization in peer teaching in higher education settings has been demonstrated in experiments by Long (1971), Gaynor & Wolking (1974), Johnson et al. (1976) and Annis (1983). This may apply to both the presentation and interaction phases of teaching (De Grave et al. 1996). Verbal recitation of learned material has shown to be superior in some instances to other applications, such as discussion (Custers & Boshuizen 2002).
In sum, for both the preparation and execution phases of teaching before an audience of peers or near peers,
psychologial theory and empirical findings support a clear beneficial effect of the act of teaching on the acquisition of knowledge for the peer teacher.
（二）數學解題與後設認知的關係
Pokay & Blumenfeld（1990）研究高中生的動機、學習策略和數學成就的關係。結果發現動機與後設認知策略皆與數學成就有關。Montague & Bos（1990）研究八年級學生，認為認知和後設認知能力與數學問題解決的表現有關。Montague、Bos ＆ Doucette（1991）更指出，數學成績較佳的學生，其後設認知能力較好。Dover & Shore（1991）的研究指出高成就學生比中成就學生有較多的後設認知知識，而且在高成就學生當中，數學解題快的學生又比慢的學生具有較多的後設認知知識。張景媛（1990）的研究也認為，後設認知能力不同，其學業表現也不同，後設認知能力較高者學業表現較佳。林清山、張景媛（1993）的研究提出，國中生的後設認知能力與數學解題策略之間有典型相關存在，後設認知能力的不同，會造成學生解題策略與解題執行上的差異，並且影響其學業成就。故本研究希望透過在數學教室中的數學對話與同儕互動，讓具有較佳解題策略的學生能夠提供他們的後設認知能力，作為數學同儕鷹架，以幫助數學中低成就的學生，讓他們能由這樣的歷程中獲益。
（三）後設認知的評量
後設認知的評量方法有相當多種，但使用上各有其限制與優缺點，因為個人的心理歷程是內隱的，很難直接加以觀察，再加上後設認知的概念，至今仍然是處於眾說紛紜，不具較統一的理論體系，所以對於後設認知的評量方法，也存在相當多的爭議 (涂金堂，1995)。後設認知方式常用的評量方式有放聲思考法(thinking aloud)、晤談法(interview method)、事後回溯法(recalling method) 、錯誤偵測法(error-detection method)、問卷調查法。
後設認知的評估方法各有其優點，亦各有其使用時之限制與缺失。因本研究主要在於檢驗學生的後設認知能力在數學同儕鷹架教學前後之差異，因此採用問卷調查法加以分析。
本研究所謂「數學同儕鷹架」，是指在學習歷程中，學習者在教師的引導下，透過同儕提供鷹架。由同儕較為精簡的數學語言與概念，在互動中幫助低成就學習者的數學概念逐漸變得具體，促進數學理解，並經由教師的引導與同儕之間合作討論數學，引發認知衝突，激發學生在近側發展區中的能力，與既有的數學概念相連結，增進數學概念的發展，且經由後設認知思維學習到數學的方法，有助於學習遷移，能有效提昇學習者的數學能力與認知發展（陳育琳、徐照麗，2007）。
Method
Research Design
本研究主要採質性的群組個案研究設計，輔以量化的成對樣本前後測研究設計。質性部份探討國中數學低成就學生在同儕鷹架學習策略運作下，「樣式與規律」解題歷程的數學思維表現；量化部份在探討同儕鷹架學習策略對國中數學低成就學生後設認知與學習成效的影響（Greene & Caracelli, 1997; Johnson & Onwuegbuzie, 2004）。
Participants
本研究由研究者與一位國中數學教師協同進行。研究者在這個歷程中與協同教師一同對話、設計同儕鷹架教學策略，並共同解析研究發現。參與本研究的協同教師為數學研究所畢業，已完整的教過國中一、二、三年級學生一輪，同時亦擔任學校的數學領域召集人，對教材相當專業，且不斷在進修當中，對於教學法與相關教學資訊的接受，亦相當迅速。在本研究中研究者為半參與者，協同教學教師為完全參與者。
參與研究的學生為台灣中部某國中一個班級男生28位。該校過去是男校，近十年以來才開始招收女生，但因當地傳統觀念仍認為女生不該就讀男校，女學生就讀個案學校的人數很少，學校中男女學生數比例懸殊，因此研究對象班級全為男生。學生家長務農居多，父母多為家計而忙碌，關心子女但無瑕指導。另外，該班級每一學期都換導師，對班級狀況瞭解不易，常規問題層出不窮，幾乎每一回上課，教師總要先花許多時間處理打架狀況或其他糾紛，學生不僅學習成就極差，學習意願也相當低落。在升上二年級之後，由於校內的資源小組停辦，因此班上有5位原先屬於特殊教育的學生，回歸到個案班級（其中有一位聽障學生、一位情緒障礙學生、三位學習障礙學生，皆經過縣內心評小組鑑定），加上有一位應該是去年畢業的中輟生（有幫派背景與偷竊前科）復學，使得個案班級的狀況更為複雜。
在數學學習表現方面，該校依學生學業成就實施學科能力分組，研究對象為後段班當中的後段，大多數個案班級的學生早已習慣了在各科考試時，寫完姓名座號與選擇題之後，就趴著睡覺，數學教學實在是困難重重。但在本研究實施前，研究對象小組仍能完成老師指定的作業，提出以結構樣式與增長樣式類型為主的「樣式與規律」困難問題。在晤談中也針對這些問題表達他們起始的數學思維與困難點，如表1所示。
表 學生提出之困難數學問題與同儕鷹架解題前的數學思維
*當題目所給的訊息無法立即代入公式時，其數學思 維就中斷了。
*固著於「等差中間項」的公式，未進一步思考其他的可能性，亦即缺乏邏輯推理。
*看到這樣的圖，不知道怎麼找出規律，因此是用畫圖的方式，一個一個畫出來的，但因覺得這樣的方法太沒效率，因而提出疑問。
*學生忽略公差必須改變為負數，而繼續以公差等於3來解題，因而造成了解題的錯誤。
*本題概念與理化當中的自由落體相同，且在學理化時，這個部分就沒有學好，因此，學生也在晤談中表達出對此類型題目的恐懼。
*學生未發現20粒米排成一列時，要算搬動的距離，應算其間隔數（有19個間隔），因而找不出自己的錯誤。
*在數學化之後與既有的數學概念中，無法產生連結，因而造成數學思維的中斷。
*學生雖然知道a1＝ 10；a8＝ 50；但是在數學化的歷程當中，卻無法利用關係對照思維，將2b＝ a+c的關係找出來，以看出它是等差數列，因而產生了解題的障礙。
*學生的數學思維是以較微觀的眼光來看，他們只有注意到每2個數字之間的差並不相同，而未能改變方式，以找出數字之間重複出現的樣式，因而產生了解題的障礙。
學生原先以數學的直觀思考來解題，但是由於這樣的解法相當麻煩，且難以用於處理數字較大的情況，因而提出這個問題。
Procedures
本研究是在學生對教材內容已學習過的情況下實施。研究時間從07/11~08/17共26堂課，課程內容為南一版第一冊第三章「樣式與規律」單元（3-1 數的樣式與規律， 3-2 圖形數的樣式與規律）。
本研究所謂同儕鷹架學習策略是指學習歷程中，學習者在教師的引導下，透過同儕提供鷹架，由較為精簡的數學語言與概念，在互動中逐漸變得具體，並能與既有的數學概念相連結，且經由後設認知思維學習到數學的方法，有助於學習遷移，能有效提昇學習者的數學能力。
數學同儕鷹架學習策略分為小組與全班的數學對話兩種方式進行，小組是依照前一次段考的數學科成績為依據，採S型分組，並依照學生的個性再進行微調。小組討論於早自習與空白課程進行；全班的數學對話則於一般數學課堂上進行，故全班對話方為本研究觀察重點。教學實施之程序為：
1.教師訂單元主題。
2.學生以小組提出自己在解題歷程當中遭遇困難，且在小組內找不出對策的題目，每組至少三題；實驗組與控制組學生皆施以前測：「後設認知量表」與「數學學習成就測驗」；教師與學生分組晤談，蒐集學生在解題上的障礙，to know students' strengths and weaknesses. 作為教學歷程中引導學生之準備。
3.交由下一組學生進行解題，實驗組學生以同儕鷹架策略進行學習活動，於課堂中所有學生輪流上台解說，每人講解一題，並在講解之中或之後，接受班上同儕的質疑、辯論與補充；控制組學生由老師講解解題。課堂中錄音錄影記錄數學對話，於課後請學生撰寫數學日記與心得札記，作為下一次課程之參考。
4.教學後，施以「後設認知量表」與「數學學習成就測驗」，進行統計分析，檢驗數學同儕鷹架實施前後學習成效的差異。
Instruments and Data Analysis
本研究的質性資料，包括：課前分組晤談紀錄、上課內容的錄音錄影轉錄內容、學生的數學日記、教師心得札記、觀察紀錄、從數學日記中挑選學生進行課後晤談之訪談內容、個案背景資料，以及文件資料；量化資料包括後設認知量表與自編數學學習成就測驗前、後測，分別說明如下。
為了提高研究信度，質性資料之分析採專家共識，除了本研究三位研究者之外，另邀請一位國中數學教師共同討論解析。
量化研究的主要工具為後設認知量表及研究者自編成就測驗。後設認知量表是依據林清山、張景媛（1993）編製的量表改編。將114份樣本的預試結果分析後，刪除會降低總量表與各分量表之內部一致性α係數的題目，修改後的後設認知量表中，目標設定分量表有7題，自我監控分量表有8題，自我評價分量表有7題，自我監控分量表有7題，全量表共有29題，均為正向題。採Likert 四點數學量表計分，選項為「很像自己的情況」、「有點像自己的情況」、「有點不像自己的情況」、「一點也不像自己的情況」，量表中均為正向題，得分越高，表示後設認知能力越強。後設認知總量表之α值為.931，目標設定分量表之α係數為.815，自我監控分量表之α係數為.793，自我評價分量表之α係數為.775，自我修正分量表之α係數為.811。在建構效度方面，因素分析結果顯示:每題的因素負荷量皆在範圍0.4~0.7之間，達p<.05的顯著水準，與原量表結果相似。在內部同質性檢驗方面，各量表與總量表之間的相關在.60至.72之間，皆達p<.01的顯著水準。各分量表之間的相關介於.62到.76，均達p＜.01顯著水準。
數學學習成就測驗由研究者自編。以「樣式與規律」單元 為測驗主要編製內容。其中包含選擇題二十題，每題答對給五分，答錯則不予計分。前測與後測時間皆為45分鐘。
試題係根據認知的三個層次(知識、理解、應用)，以及教學內容分配題項，製作雙向細目表，並參考九年一貫課程數學領域能力指標、南一書局課本、教師手冊、題庫(2004)、基本學力測驗題型，再與二位資深數學教師討論題目語意加以修正，並選取個案學校二年級30位學生實施預測結果，刪除鑑別度0.25以下、難度0.85以上或0.3以下的題目，正式的前、後測試題皆為選擇題25題。修改過後的題目再由二位數學輔導團深耕種子教師幫忙審核修訂。試題修訂完畢之後，再對二年級班級施測，間隔兩週後再施測一次，收回有效樣本100份，前測試題的Cronbachα係數為0.9343，試題內在一致性良好，分析前後兩次測驗成績的Pearson積差相關，求得重測信度為0.810，測驗的穩定性良好。本試題的折半信度為0.76。後測試題的Cronbachα係數為 0.9211，試題內在一致性良好，分析前後兩次測驗成績的Pearson積差相關，求得重測信度為0 .877，測驗的穩定性良好。本試題的折半信度為0.74。
本研究量化研究的目的在探討受試者在數學同儕鷹架教學方案學習之前和學習之後學生的成績是否有改變，因此採取兩個平均數的差異顯著性的t考驗。本研究資料之搜集質量並重，採用觀察、訪談，並且實施後設認知量表與數學學習成就測驗，經由多種不同來源的資料，對資料與詮釋做比對檢核的工作，以進行研究資料與結果的三角驗證，確定研究者的觀察與詮釋無誤。
Results
The results are presented in terms of the three research questions addressed in the research.
壹、在同儕鷹架學習策略運作下表現的「樣式與規律」解題思維
個案班級的學生在整個教學歷程當中，總共提出了28個他們認為難以解決的題目，但其中有部分題目屬於同一類型，因此本研究僅以同儕鷹架在10個有代表性題目的運作流程作為例證。
在這10個例證的同儕鷹架運作過程中，有18位學生、25人次提出鷹架（1、4、5、10、11、12、13、14、15、16、17、19、22、24、25、28、29、32），有11位學生、13人次提問（1、6、8、10、11、13、15、18、22、29、30）；若扣除須個別協助的特殊教育學生，個別發言的學生數達100%。此外，錄音錄影資料顯示，小組或全班的討論與呼應也十分熱烈，例如：「對啊！對啊！許多學生紛紛附和」；「學生討論了約5分鐘，由S25上台解說」（錄音錄影轉錄07/13）；許多學生：因為要搬過去再搬回來啊…（錄音錄影轉錄2005/08/3），同儕鷹架運作結果，疑難問題都迎刃而解，至此，學生的表現與同儕鷹架實施之前，「教師總要先花許多時間處理打架狀況或其他糾紛，學生不僅學習成就極差，學習意願也相當低落」的情況相較，已不可同日而語。以下進一步擷取部份對話，呈現同儕鷹架的運作狀況。
【例證01】
設一等差級數共有99項，若其第37項與第63項之和為4，則這個等差級數的和為多少？
實驗教學之前，學生對此題的數學思維為問題情境→ 轉譯 → 數學化 → 形式思維→無法代入，解題中斷。
同儕鷹架運作時，數學成就較高的S15以兩個數學公式解決問題，第一個等差中項的公式b = （a+c）/2是課本中提到過的公式，但是他所用到的另一個公式，總和=中央項 × 項數並未在課本內容當中出現過，因此，同儕對於這樣的公式，顯得較無法理解，而在S15與同儕的數學對話當中，可以看出其後設認知在解題歷程當中的運作。
…
S15：我先代公式b = （a+c）/2，所以a50=（a37+a63）÷ 2= 4/2= 2，那99項的總和是a50 ×99 =2 ×99= 198（台下學生顯得一臉茫然）
師：同學好像聽不太懂哦！你們哪一個式子不了解，還是不知道為什麼要這樣做，趕快舉手問哦！
S1：你為什麼要算a50？
S15：因為要代中央項乘以項數的公式的話，要知道中央項，那a50就剛好是中央項啊！
S29（翻出課本提問）：為什麼這一題可以代b = （a+c）/2 ？他給的是第37和第63項，又不是給我們1、2、3項？
（對啊！對啊！許多學生紛紛附和。）
（學生討論了約5分鐘，由S25上台解說）
S25：因為你看37和50項差13項，那後面那個50和63也差13項，所以他也是等差，就可以用等差中項的公式了。
S24：所以是因為他那個有99項，算和的時候要用到中央項乘以項數的公式，所以要找第50項，然後，在這裡，第50項又剛好是第37和第63項的等差中項，就可以代這個公式算出來。
S29：那如果沒有背到中央項乘以項數這個公式，是不是就不能做了？（錄音錄影轉錄07/13）
S29的疑問似乎也是班上許多同儕之間的疑問，因為這個公式是課本當中沒有提到的，若沒有這個公式，是否就無法解題？正如同Miller和Mercer (1997)曾綜合分析與歸納提出數學學習困難的一般心理特質有：1.習得無助感; 2.過於依賴老師;3.被動且缺乏動機。在此，教師提醒他們用自己過去學過的和的公式來試試看，在約10分鐘之後，S1上台分享了他的發現：
S1：老師：我發現這樣也是可以做：
S99 ＝【2a1+（99-1）d】×99 /2 ＝（2a1+98d）×99 /2 ＝ （a1+49d）×99＝ a50×99
所以他那個中央項乘以項數的公式，其實就是從和的公式來的。不用背那個公式也可以做得出來。（錄音錄影轉錄07/13）
從對話內容可以發現，學生數學同儕鷹架的提供相當豐富，即使個案班級是該年級數學相當低成就的班級，他們也不像許多老師所認為的那樣—什麼都不行，透過適當的數學同儕鷹架的作用，依然能夠想出自己的解法：
問題情境→ 轉譯 → 數學化 → 【數學同儕鷹架】後設認知思維→ 既有數學概念 →【數學同儕鷹架】關係對照思維 →【數學同儕鷹架】關係連結思維 →【數學同儕鷹架】形式思維→既有數學概念→【數學同儕鷹架】概念思維 → 解題。
【例證02】
以49根火柴棒圍成如圖的n個正方形，則n=？
實驗教學之前，學生對此題的數學思維為問題情境→ 形式化思維 → 解題失敗。
同儕鷹架運作時，S16先將圖形拆解成一個一個的正方形，將它們單位化，然後透過關係連結與關係對照思維，再藉由計算與推論，以找出樣式，這樣的數學同儕鷹架，讓其他的學習同儕發現：只要找出樣式，不需要用到公式的情況之下就可以解出題目，並不像他們之前所想的那樣複雜。
S16：就看圖啊！每次多一個正方形，就會多出三根火柴棒，所以先減掉第一根火柴棒，（49-1）÷ 3 ＝16就出來了。
（台下學生驚奇地大叫：怎麼這樣就出來了，不會吧！）
S30：不用代公式哦！
S16：不用啊！這個用看的就可以了…（錄音錄影轉錄07/15）
S16由圖形當中看出了規則，先拿掉一根火柴棒的情況下，每多出一個正方形，就會多出三根火柴棒，這樣的樣式思維，讓同學了解到不需要用到公式，只要找出規則，就可以解題了。因此，S16所提供的數學同儕鷹架為：
問題情境→ 轉譯 → 數學化 →【數學同儕鷹架】後設認知思維 →【數學同儕鷹架】分群思維→ 單位化 →【數學同儕鷹架】關係連結思維→計算與推論 →【數學同儕鷹架】關係對照思維 →映射 →【數學同儕鷹架】樣式思維 → 類化→ 既有數學概念 → 解題
而後上台的S11則是以一個代數式來表示他所發現的規則，並解出答案：
S11：我是先拿掉一個正方形來看，然後每多一個正方形，就會多三根火柴棒，那是有規則會一直這樣下去的，所以我假設後面有X個正方形，4+3X＝49，X＝15，15+1＝16
S13：為什麼要加一？
S11：因為前面有一個正方形，我們沒有算進去啊！所以要加回來。（錄音錄影轉錄07/15）
因此，可以看出，S11所提供的數學同儕鷹架，除了與S16一樣，先以分群思維、關係對照思維、關係連結思維來找出重複出現的樣式之外，並將這樣的樣式列出算式，與既有的數學概念相結合，以解決問題，因此，其數學同儕鷹架，可以表示為：
問題情境→ 轉譯 → 數學化 →【數學同儕鷹架】後設認知思維 →【數學同儕鷹架】分群思維→ 單位化 →【數學同儕鷹架】關係連結思維→計算與推論 →【數學同儕鷹架】關係對照思維 →映射 →【數學同儕鷹架】樣式思維 → 類化 →既有數學概念 → 解題
【例證03】
地磚圖形的排列順序如下，如果黑色的要400塊，白色的要幾塊？
實驗教學之前，學生對此題的數學思維為問題情境 → 直觀思維 → 解題。
同儕鷹架運作時，S14提供了較有系統的解題方法:
S14:不用那麼麻煩啦！你列幾個出來以後，就可以看出規則了。
（S14上台寫下）
黑 白
4=2的平方 -2 2
9=3的平方 -3 6
16= 4的平方-4 12
25=5的平方 -5 20
….
400= 20的平方-20 380
（哦！寫好之後，台下出現一陣恍然大悟之聲）
S14: 列出來之後，你就會發現黑色的都是平方的數，從2、3、4到要求的400是20的平方，然後減去自己的數字（台下補充：是底數啦！），就是白色的了。（錄音錄影轉錄07/18）
S14將黑色與白色磚塊的數量分別列出，以看出數字當中的規律，白色磚塊的數量是黑色磚塊數量的平方減去自己的底數。依此規律，即可以依題意解題。因此，S14所提供的數學同儕鷹架為：
問題情境→ 轉譯 → 數學化 →【數學同儕鷹架】後設認知思維 →【數學同儕鷹架】分群思維→ 單位化 →【數學同儕鷹架】關係連結思維→計算與推論 →【數學同儕鷹架】關係對照思維 →映射 →【數學同儕鷹架】樣式思維 → 類化→既有數學概念（平方的概念） → 【數學同儕鷹架】概念思維 →既有數學概念→解題
而之後的S29則是以比例的方式，看出黑色與白色磚塊的數量之間的規律，以解出題目：
L29：老師，我用比例的方法也可以算出來ㄟ！
（L29上台寫下）
黑：白
2: 1
3: 2
4: 3
400= 202 20:19
19×20=380
你把他的比都列出來，就會發現它有規則，是從2:1 , 3:2, 4:3, 一直下去，因為400= 202 所以到20:19，就是19×20=380（錄音錄影轉錄07/18）
此類將圖形或數字情境歸納出一般化原則的同儕運作，提供了學生思考重要數學符號的機會，例如：藉由討論連結到重要的數學要素，強調公式化的必要性以及評估臆測的正確性，視變數為一種動態的特質有助於符號意義化，符號是經由一連串思考及討論的過程而產生；雖然學生的解題策略各有優劣，從例證03的對話也可發現，在代數抽象觀念引入之前，這些學生的認知發展，仍停留於具體操作期，因此用圖形說明代數概念，將可幫助學生建立抽象概念。學生在問題解決之下，有了創造思考之時間與空間，了解圖形方面的解題策略是很重要的，當他們有非常多元獨特的想法，經過適度引導討論，此時學生不再是模仿老師的解法，而是培養出分析複雜題目的能力，就能成功解題。
因此，S29所提供的數學同儕鷹架，可以表示如下：
問題情境→ 轉譯 → 數學化 →【數學同儕鷹架】後設認知思維 →【數學同儕鷹架】分群思維→ 單位化 →【數學同儕鷹架】關係連結思維→計算與推論 →【數學同儕鷹架】關係對照思維 →映射 →【數學同儕鷹架】樣式思維 → 類化→【數學同儕鷹架】數學概念（比例的概念） →解題
【例證04】
一多邊形的周長為158公分，它的邊長形成公差3的等差數列，已知最長的邊長為44公分，求此多邊形的邊數及最短邊的長。
實驗教學之前，學生對此題的數學思維為問題情境 → 轉譯 → 數學化→既有數學概念（部分中斷，無法銜接。）
同儕鷹架運作時，首先上台講解的學生是S19，他直接代入公式解題。而S19在此提供了一個相當重要的關係對照思維與關係連結思維作為數學同儕鷹架，即為當我們設最長邊是首項時，由於整個數列愈來愈小，所以公差要是負的。讓許多原先設公差為正數的學生，終於知道了自己的錯誤。也才能修正自己的解題障礙。而後來，也有學生提出疑問，如果公差設為正數，是不是就不能做？原先，大多數的學生都認為沒辦法作，而S11也提供了數學同儕鷹架，讓學生了解，當公差設為正數的情況之下，要以聯立方程式的方法來解題。
S19：那這邊因為最長邊是44，所以我們設ａ1是44、公差是-3、邊數為n，代入
Sn= n【2ａ1 +(n-1)×d】 的公式，
2
這樣就可以算出n=4或79/3，那因為邊沒有分數，所以79/3不合，邊數就是4，再代入 ａn=ａ1 +（n-1）d 的公式，ａ4是35，就是最短邊的長。
S6：（指著黑板）：為什麼那個d是-3？
S10：對啊！它不是說形成公差是3的等差數列嗎？你為什麼用-3去算？
S19（看著自己的筆記，搔搔頭）：嗯…因為…
S4：因為我們設最長邊是ａ1啊！所以要倒過來。
S19（有點恍然大悟的樣子）：喔！我們假設最長的邊長是ａ1，那它的邊長會越來越短啊！所以公差要改成負的。
台下學生：哦！（終於了解的樣子）（錄音錄影轉錄07/22）
由學生的數學對話中學習同儕提供了極為豐富的數學同儕鷹架，一開始 S19 就先提供了對於「假設最長邊為a1時，公差必須要為負」的這樣的解題策略作為數學同儕鷹架，在此即顯現出其後設認知思維的運作，接下來，以形式思維帶入公式，就可以解出答案。學生的數學同儕鷹架的運作歷程為：
問題情境 →轉譯 →數學化 → 【數學同儕鷹架】後設認知思維 → 【數學同儕鷹架】關係對照思維→【數學同儕鷹架】關係連結思維 →形式思維→【數學同儕鷹架】計算思維→解題
但接下來又有同儕提出「如果設最短邊為a1，公差是正的要怎麼做？」這樣的疑問，原先，同儕們認為這樣的情況下，會有兩個未知數，但是只有一個方程式，無法解題，但 S11 提出了不一樣的看法：
S22：那這一題如果設最短邊是ａ1，公差是d怎麼做？
S16：那不能做啦！算不出來。
S32：對啊！妳如果這樣設的話，會有兩個未知數，只有一個方程式，做不出來。
S12：啊！對喔！（頻頻點頭）我知道了。
S11：誰說的？可以算啦！
台下學生：哦？（露出懷疑的樣子）
師：那S11上台講一下吧！
S11（得意洋洋地上台）：他剛剛只有寫一個式子啊！再用Sn那個式子來聯立就可以算出來了，就是跟
158= n【2ａ1 +(n-1)×3】
2
聯立就可以算了，嘿嘿…！天才就是不一樣。（錄音錄影轉錄07/22）
由此可見，S11另外補上了概念連結思維，讓這個方向的解題得以順利的完成，學生的數學同儕鷹架運作歷程如下：
問題情境→轉譯 →數學化 → 【數學同儕鷹架】後設認知思維 →【數學同儕鷹架】形式思維 → 【數學同儕鷹架】關係連結思維 → 既有數學概念 → 【數學同儕鷹架】關係對照思維 → 既有數學概念 → 【數學同儕鷹架】計算思維→解題
【例證B05】
某物件自高空自由落下，第一秒落下4.9公尺，以後落下的距離每秒增加9.8公尺，試求此物體第40秒落下的距離以及物體落下前，離地面的高度。
實驗教學之前，學生對此題的數學思維為問題情境→轉譯 →數學化 →解題障礙。
同儕鷹架運作時，上台講解的是S25，他用等差數列的觀念來解題：
S25：因為第一秒落下4.9，，再來每次都增加9.8，那就是等差了啊！所以我們設首項是4.9。再來，因為每秒增加9.8公尺，所以公差d就是9.8。所以要算第40秒的，就是a40＝4.9+（40-1）×9.8＝387.1；那再來算40秒內的，就是把它全部加起來，算S40＝ 40×（4.9 +387.1）/2 ＝ 7840
S22：怎麼那麼簡單？以前理化在學的時候都很難ㄟ！
S25：本來就是這樣而已啊！其實你只要知道他可以用等差去算，然後，分清楚哪一個要用a40，哪一個要算S40，就很簡單了。
S11：廢話！！就是分不清哪一個是a40，哪一個是S40！
S32：哦！第幾秒內的就是算第幾項，然後，算幾秒內落下的，就是算總和了啦！！
S13：沒想到用數學來看理化那麼簡單，以前怎麼都不會，白被老師打了好幾下…（全班大笑…）（錄音錄影轉錄07/27）
在以上的數學對話當中可以看見，學生原先看到題目時，是以理化的觀點來看這樣的一個題目的，因此就覺得這個題目相當困難，而在S19一開始就提供了後設認知思維當作數學同儕鷹架，讓學習同儕知道這是可以用等差數列來解題的題型，在對話歷程中，透過數學同儕鷹架的支持，學生們才發現，如果同樣是這一個題目，改用數學的角度來看，變得容易許多，在此，數學同儕鷹架除了提供他們後設認知思維之外，也讓學生看清楚題目與數學概念之間的關係（何時要算第40項，何時要算前面40項的和），所以，數學同儕鷹架亦提供了連結思維幫助解題。
題目 →轉譯 →【數學同儕鷹架】後設認知思維 →【數學同儕鷹架】形式思維 → 既有數學概念 →【數學同儕鷹架】關係對照思維→【數學同儕鷹架】關係連結思維 → 既有數學概念→ 解題
【例證B06】
一隻螞蟻看到有20粒米排在一直線上，牠決定先把這些米都搬到第一粒米的位置，若一次只能搬一粒，且相鄰兩粒米的距離都是2公分，求全部搬完需走多少公分？
實驗教學之前，學生對此題的解題思維可表示為：
問題情境→轉譯 →數學化 （產生錯誤）→解題失敗
同儕鷹架運作時，S5提供的數學同儕鷹架是正確的關係對照思維，讓學生了解應該算的是間隔數，而非個數。
S5：我設a1＝2，公差也是2，那a19＝ a1＋18d ＝2＋36 ＝38
S8：為什麼算a19？不是20個米嗎？
S5：對啊！沒錯啊！20個米有19個間隔，第1粒米又不用搬，那你不是搬19個就好了嗎？
第二組學生：對哦！沒注意到第一個不用搬（學生露出恍然大悟的神情）
…
S18：為什麼要乘以2？
許多學生：因為要搬過去再搬回來啊…（錄音錄影轉錄08/3）
由學生的數學對話當中可以看出，當S5提供了數學同儕鷹架（正確的關係對照思維）之後，這個題目幾乎就可以迎刃而解了，所以學生的數學同儕鷹架的運作可表示為：
題目 →轉譯 →【數學同儕鷹架】後設認知思維 →【數學同儕鷹架】關係對照思維→【數學同儕鷹架】形式思維 → 既有數學概念 →【數學同儕鷹架】關係連結思維 → 既有數學概念→解題
【例證 07】
設 a1、a2、a3、a4、a5、a6為一等差數列，公差不為0，且 a3 為 a1 和 a6的等比中項，則下列何者為正確？（A）a1 + a4 ＝ a2 + a5（B）a6 ＝ 2a2（C）a5＝ 2a1（D）a4＝ 2a3
實驗教學之前，學生的數學思維是在數學化之後與既有的數學概念中，無法產生連結，其解題思維：問題情境→轉譯 →數學化 →既有概念思維（無法連結）→解題中斷
同儕鷹架運作時，S15所提供的幾個數學同儕鷹架包括了後設認知思維、概念連結思維，讓學生能由定義出發，將等差數列與等比中項這些既有的數學概念作連結，並透過後設認知的運作與監控來解題。
S11：…有辦法做嗎？它都沒有給數字ㄟ！
S15：可以啦！你看它的選項，他只是要求關係而已，並沒有要我們去算出a1、a2、a3到底是多少，所以是可以把關係找出來就好了。…
S15：…你可以從題目來看，因為只是要找關係，就是要從a3是a1和a6的等比中項去想，所以a3＝√a1×a6 ；而且a1、a2到a6都是等差嘛！所以，
設a1＝ a；
a2＝ a＋d
a3＝ a＋2d
a4＝ a＋3d
a5＝ a＋4d
a6＝ a＋5d
那可以用a3＝√a1×a6的公式下去代，你看像黑板上算出來，就是a＝ 4d，這樣算出來以後，再把它代回去，你就可以算出：a1＝ 4d；a2＝ 5d；a3＝ 6d；a4＝ 7d；a5＝ 8d；a6＝ 9d；再把他們帶到選項裡面去看看，就可以知道答案了。（錄音錄影轉錄08/3）
在S15解說完畢之後，居然沒有同儕提問，這樣的情況有點出乎研究者的意料之外，而在課後晤談當中，學生才表露出他們的情緒。「我覺得S15很厲害的地方，是他知道要怎麼樣去想題目，他講的這些，我也都知道啊！可是我就想不出來要怎麼去做，他的那種想法，才是跟我們很不一樣的地方。」（s29課後晤談08/04）；「他寫的式子都很簡單，那些我也都知道，只是我不會把他們連在一起想，怎麼說呢？就好像老師常常唸我們的，說我們都不自己做，看別人把題目做出來都很簡單，可是自己去做就會這裡做錯那裡做錯的…」（S24課後晤談08/04））；「聽完S15講的，我發現其實好像沒有哪麼難，是我們自己想得太複雜了。而且，最神奇的是，他做這個題目都沒有用到特別的公式或是性質，居然也可以做得出來，讓我覺得，好像不一定要靠很多公式，只要定義清楚，從定義也是可以做出來的，」（S20課後晤談08/04））。因此，在學生的晤談資料中可以發現，s15所提供的數學同儕鷹架，可表示如下：
問題情境→數學化 →【數學同儕鷹架】後設認知思維 →【數學同儕鷹架】形式思維 →【數學同儕鷹架】轉化思維 → 既有數學概念 →【數學同儕鷹架】關係連結思維 →【數學同儕鷹架】計算思維 → 既有數學概念 →解題
【例證B08】
八個人依照「甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛」的順序橫坐成一列。甲說：「我今年10歲。」；辛說：「我今年52歲」；乙、丙、丁、戊、己、庚六個人皆異口同聲地說：「坐在我左右的兩個人年齡加起來是我年齡的兩倍。」則：（1）庚今年幾歲？（2）乙、丙、丁、戊、己此五人年齡的總和為多少歲？
實驗教學之前，學生雖然知道a1＝ 10；a8＝ 50，但是在數學化的歷程當中，卻無法利用關係對照思維，將2b＝ a+c的關係找出來，以看出它是等差數列，因而產生了解題的障礙：問題情境→轉譯 →數學化 →關係對照失敗→ 解題中斷
同儕鷹架運作時，S28與其組長上台對這個問題提出看法，其所提供的數學同儕鷹架主要是轉化思維，幫助同儕將題目的文字描述轉化成數學概念，並提供關係連結思維連結數學概念與式子上的落差。
S28：這題就代公式就好了，因為a1＝ 10；a8＝ 52，所以，10＋7d＝ 52；就可以算出d＝ 6，那他要求的就是a7＝ 10＋6d＝ 10＋6×6＝ 46
台下許多學生：為甚麼可以代公式？
S28：因為它是等差數數列啊！
S15你怎麼知道？題目又沒有說？
（S28看了題目很久，答不出來，下台找組長…）
S1：它不是有說「坐在我左右的兩個人年齡加起來是我年齡的兩倍」嗎？那你就把他變成數學式來看，就是那個2b＝ a＋c；其實就是b＝（a＋c）/2的意思了啊！那它既然可以有這個關係，那就是等差數列了啊！
…（錄音錄影轉錄08/10）
這樣的數學對話歷程，讓研究者明確地看到學生的數學思維與教師數學思維的不同之處，在教師的數學思維當中，由於數學概念思維與關係連結思維、轉換思維較佳，在以教師為中心教學歷程當中，經常會忽略到部份學生的學習需求，亦無法提供立即且持續的學習鷹架以幫助其學習，在此亦顯示出數學同儕鷹架的重要。而在課後的晤談當中，學生的看法也支持了數學同儕鷹架的重要。如：「…原來可以從那邊看出來，我都沒有想到，這樣也是等差，…」（S17課後晤談2005/08/11）；「我覺得他們很厲害，都可以把這些連在一起想，要是我自己想，大概一百年也想不出來，…這樣我們就可以知道，就算題目沒有說，也可以從這裡看出來。」（S24課後晤談08/11）
因此，在本例證的對話歷程當中，學生所提供的數學同儕鷹架為
問題情境→數學化→【數學同儕鷹架】後設認知思維 →【數學同儕鷹架】形式思維 →【數學同儕鷹架】轉化思維 → 既有數學概念 →【數學同儕鷹架】關係連結思維 →【數學同儕鷹架】關係對照思維→ 既有數學概念 →解題
【例證09】
新生的編班規則要採用常態編班，因此本校依據學生的智力測驗成績，先將學生從1編號到320，採用S型編班，編班情況如下表：表中編號為1、16、17、32、33…的學生編入忠班，其他依此類推，問編號為223號的學生編在哪一班？
實驗教學之前，學生的數學思維是以較微觀的眼光來看，他們只有注意到每2個數字之間的差並不相同，而未能改變方式，以找出數字之間重複出現的樣式，因而產生了解題的障礙：問題情境→轉譯 →數學化 →無法看出數字關係→解題中斷
同儕鷹架運作時，S17提供的數學同儕鷹架是樣式思維，他先利用分群思維看出了這些數字是以每16個作為一個循環，並利用關係對照與關係連結思維以映射到整個數列，而發現了這樣的樣式，是會重複出現的。找出樣式之後，再以除法去做計算與推論就可以完成解題。
S17：因為他要求第223個啊！那每隔16個數字會出現一次，所以，我們把223 ÷ 16＝ 13…15；就是13個循環以後，再走15格，就是「孝班」。
S8：為甚麼是16？不是8？
S17：因為，你看他是從1到16又剛好回到原來的地方，然後，17開始又從原來的地方出去再走一次，到32才回到原來的地方，所以要把16看成是一個循環，不能用8來看啦！（錄音錄影轉錄08/12）
因為在此，S17看到了重複出現的樣式，在此過程當中，S17所提供的數學同儕鷹架為：
問題情境→ 轉譯 → 數學化 →【數學同儕鷹架】後設認知思維 →【數學同儕鷹架】分群思維→ 單位化 →【數學同儕鷹架】關係連結思維→計算與推論 →【數學同儕鷹架】關係對照思維 →映射 →【數學同儕鷹架】樣式思維 → 類化→既有數學概念 →【數學同儕鷹架】關係連結思維 → 解題
第二位上台的學生是S10，他反駁了S17原先所說，一定要把16當成一個循環來看，不能把8看成一個循環的看法，為同儕提供了另一種新的思維。
S15：…誰說不能用8做循環來看？我就是這樣做的啊！（同儕紛紛投以異樣的眼光）當作一個循環來看。
師：那請S10上台來說一下你的看法好嗎？
S10：我用8當作一個循環來看，所以我用223÷ 8＝ 27…7；那就是第28排第7個，我覺得這裡最重要的就是要會看，因為那跟S17講的不一樣，如果跟我一樣用8來看，就是要記得他的奇數排，號碼是由前到後，偶數排的話，號碼是由後到前，那這樣做出來，答案就會一樣了。因為由後往前算到第七個，就是孝班。（錄音錄影轉錄08/12）
由此可以看出，S10亦提供了一種樣式思維作為數學同儕鷹架，只是他所發現的樣式與S17所發現的是不一樣的規律，除此之外，S10還提供了後設認知思維作為數學同儕鷹架，指出其解題策略與S17的相異之處，對於同儕的觀念釐清，有極大的幫助。
問題情境→ 轉譯 → 數學化 →【數學同儕鷹架】後設認知思維 →【數學同儕鷹架】分群思維→ 單位化 →【數學同儕鷹架】關係連結思維→計算與推論 →【數學同儕鷹架】關係對照思維 →映射 →【數學同儕鷹架】樣式思維 → 類化→既有數學概念→解題
【例證10】
小明拿了一把最小刻度為1公分的直尺和一條長為1公尺的繩子，則繩子最少對折幾次，其對折之後的長度近似值是1公分？（A）6 （B）7 （C）8 （D）9 次。
實驗教學之前，學生原先以數學的直觀思考來解題，但是由於這樣的解法相當麻煩，且難以用於處理數字較大的情況，因而提出這個問題：問題情境 → 轉譯 →數學化 → 直觀思維→ 既有數學概念 → 解題。
同儕鷹架運作時，S1所提出的解題策略中說道，題目裡面的單位不一樣，要先換成一樣來算，先提供了後設認知思維作為數學同儕鷹架，接下來，僅用單位換算與指數律等這些舊有的數學概念作為數學同儕鷹架，就輕易地解出題目了，讓同學們顯得相當訝異。這樣的情況正如同概念性和程序性知識上沒有良好的連接，無法穩定發展數學概念。如果概念性和程序性知識兩者之一有所不足，或者兩者卻各自分離沒有關聯，會造成學生只會在非常類似於學習時的情境中運用數學知識，卻無法應用到其他情境解決新的問題，這正是大多數數學低成就學生最常出現的現象，透過數學同儕鷹架的協助幫助學生在這些原先水平概念層次無法銜接的部分，做了較佳的連結。游麗卿（1999）指出程序性知識雖然可以增進問題的解決速率，但只有與敘述性知識的連結，才可以學到有效且穩定的程序性知識。
S1：這題很簡單啊！題目裡面的單位不一樣，要先換成一樣來算啊！因為一公尺等於100公分，二的七次方等於128，比100還要大，所以，折七次就出來了。（錄音錄影轉錄08/15）
因此，S1所提供的數學同儕鷹架為：
題目 →轉譯 →數學化 →【數學同儕鷹架】關係連結思維→既有數學概念→解題
貳、同儕鷹架學習策略對學生後設認知能力的影響
認知技巧的獲取與認知學習同等重要，它可以促使學生在解題過程中能完成自我監控的功能，因為當學生記下並反思他們的想法時，可以增進解題的能力，讓解題過程更有效率（周立勳、劉祥通，1998）。個案班級的學生在過去的數學課堂上，幾乎都是被動的學習者，而在開始數學同儕鷹架的教學之後，學生不僅開始擬題，寫筆記，也會把一些老師在上課中說的注意事項或自己的想法記下來。
個案班級學生後設認知量表的前、後測比較（表4-6）顯示，前測的平均數與標準差為M=62.24, SD=11.12，後測的平均數與標準差為M=69.21, SD=9.26，兩次平均數上有了6.97分的差異，t（27）值為-2.72, 顯著性為0.004**，考驗結果達顯著，顯示後設認知量表前、後測分數有顯著的不同。從前、後測平均數可以看出，學生後設認知量表的後測分數（69.21）較前測（62.24）為優，顯示學生的後設認知有進步。除此之外，在分項比較表（表4-7）的四個分量表中，分別在自我監控、自我評價、自我修正三個分量表上分數也都有較佳的表現，而相對於目標設定與自我監控，學生在自我修正與自我評價上面有較多的進步。由此可見在數學同儕鷹架的幫助之下，全體學生在數學解題歷程當中的後設認知能力是有進步的。
表4-6 學生「後設認知量表」前、後測比較表（n=28）
表4-7 學生「後設認知量表」前、後測分項分數比較表（n=28）
叁、同儕鷹架學習策略對學生「樣式與規律」學習成效的影響
雖然這些課程在一年級已經學過，但是由於個案班級的數學成就不佳，因此在學習成就測驗中的分數也相當不好，然而-1.85, 顯著性為0.04*，考驗結果達顯著，顯示學習成就前、後測分數有顯著的不同。從前、後測平均數可以看出，學生學習成就的後測分數（49.06）較前測（41.27）為優，顯示學生在數學同儕鷹架的幫助之下，全體學生的數學學習成就是有進步的。
表4-8 學生數學學習成就測驗前、後測比較表（n=28）
研究對象所提出的問題當中，例行性問題有5題，非例行性問題亦有5題。
例行性問題的解題歷程中，數學同儕鷹架的運作情況如圖4-3所示，圖中的虛線表示先出現以及較為抽象的同儕鷹架，實線則表示後出現以及較為具體的數學同儕鷹架。The participants ask for explanation at every opportunity and the scaffolding providers verbalize, reflect on, and communicate their understanding. By emphasizing students’ making personal meaning of mathematical ideas, they have come to make them their own.
圖4-3學生數學同儕鷹架運作圖（例行性問題）
非例行性問題在解題歷程中，學生需要較多的數學同儕鷹架支持。這些非例行性問題同儕鷹架的運作情形說明如下：
（一）瞭解題意---轉化思維
解題歷程資料顯示，學生解題的障礙常發生在瞭解題意的部份，雖然不是看不懂題目，但是卻往往因為看錯條件、或是題意與數學概念無法連結而產生錯誤，而透過數學同儕鷹架的提供，能轉化學生的思維，幫助其開始解題的第一步。
（二）擬定計畫---後設認知思維
數學低成就的學生的自我覺察監控等後設認知能力，原本就比較弱，在數學同儕鷹架的運作當中亦顯示出這樣的趨勢。在十個例證當中，僅有4個例證的數學對話出現了後設認知思維，可見學生對於解題歷程的規劃與監控、理解都是較差的，就如同Frank（1979, 1982）的研究結果，學生遇到看起來不像例行性的問題時，會很快的放棄或逃避。他們相信，他們能夠解決的數學問題一定是在短時間內能解決的，花長時間解某一問題是沒有幫助的。假如他們花長一點時間去解某一道問題時，他們會認為必定是自己哪裡出錯了，不然就是題目有問題。這是個案班級中相當普遍的現象。而在數學同儕鷹架的運作之下，學習同儕發現原來他們原先認為有問題的題目，只要找出關鍵點，就可以做出來，對學生的數學解提示有幫助的。
（三）啟動執行計畫---樣式思維與關係對照、連結思維
大多數學生在看完題目之後，就開始執行解題的工作，而在個案班級當中，提供關係連結與對照思維作為數學同儕鷹架的有七個例證，以樣式思維作為解題關鍵的則有三題，似乎顯示了個案班級學生主要的問題在於數學概念與概念之間缺乏連結，在前述的七個例證當中，皆是如此。必須再透過數學同儕鷹架所提供的連結之後，方能啟動學生的解題歷程。個案班級的學生當中，能自行找出問題情境中的樣式以解題的情況很少，也顯示了學生的遷移能力較差。
（四）執行計畫歷程---直觀思維、形式思維、數學概念思維、計算思維
學生在執行計畫的歷程當中，常產生障礙，也需要較多的數學同儕鷹架提供協助，方能順利解題。因此，個案班級在非例行性問題的數學解題歷程當中，數學同儕鷹架的運作，大致可以表示如下：
圖4-4 學生數學同儕鷹架運作圖（非例行性問題）
在學生的解題歷程當中可以發現，個案班級學生大多固著於形式思維的解題，當解題歷程當中出現了有些數字無法直接代入的情形時，他們幾乎就會放棄解題了。因此，個案班級的學生要能順利解題，不僅需要較多的關係連結與關係對照思維作為數學同儕鷹架支持，還需要學習同儕提供較多的概念思維、計算思維與轉化思維，來作為銜接與支持，方能完成數學解題。
而多元解題的數學同儕鷹架在個案班級的解題歷程中，雖有出現，但是並不多見，且同儕所提供的多元解題方式，仍大多以數的方式去做推算，而非以代數方式去做符號化的演算，可見個案班級的學生，仍處於由具體運思期過渡到形式運思期的期間。
研究發現的另一個重點是個案班級學生的解題歷程中，後設認知思維出現的次數佔了八成，即使是數學低成就的學生，亦不是完全沒有解題計畫，在課前晤談當中亦發現，個案班級學生在解題歷程中，往往也知道要往哪一個方向去做，或知道自己可能做錯了，但卻不知道如何更正。這樣的問題在傳統以教師為中心的教學當中，幾乎無法解決，而透過數學同儕鷹架的支持，方能逐漸提供符合其近側發展區所需要的協助，幫助班上大多數學生的近側發展區繼續發展並擴充，以獨立完成學習目標。
從過去以來，在個案班級上課的各科教師，大都要花極長的時間在班級秩序的管理，甚至在任課老師之前常流傳著這樣的一段話：「去他們班上課，前20分鐘要讓他們靜下心來聽課，處理他們上一節課的糾紛，後20分鐘要避免他們等著下課而開始浮躁，所以就只剩下5分鐘真的可以上課了，當然上不到什麼內容…」（教師談話06/25），同儕鷹架學習策略實施之後，老師在個案班級中的主要任務，除了鼓勵學生說出自己的想法：「那S11上台講一下吧！」（錄音錄影轉錄07/22）；「那請S10上台來說一下你的看法好嗎？」（錄音錄影轉錄08/12），鼓勵學生發問：「同學好像聽不太懂哦！你們哪一個式子不了解，還是不知道為什麼要這樣做，趕快舉手問哦！」（錄音錄影轉錄07/13），鼓勵學生聆聽他人的想法，並在學生爭論不斷時，提供適當的引導，最重要的是在解題歷程的結束之後，引導學生做出結論，並提供回饋。由於學生的學習興趣獲得了提升，維持班級秩序反而變得不再那麼重要，甚至在班級與小組之間，也變得較能自律。錄音錄影內容顯示，在10題解題例證中，教師只出現三次發言，其中一次鼓勵學生發問，另二次鼓勵學生提供鷹架。
個案班級的數學對話內容顯示，能力較佳的同儕提供較多的鷹架，雖然這些鷹架大多是已經過精緻化、符號化的結果，但透過其他同儕不斷地提問，讓學習同儕的思緒不斷回溯，回溯其解題歷程，學生不僅看到結果與歷程，也看到方法。
Final Thoughts—Implications for Practice Need more work.
How could we change low achiever's attitude and competence in managing mathematics? Teaching math to middle school low achievement students is a big challenge. Trying to keep every student engaged and interested could seem an impossible mission. On top of that, there is the issue of many middle school students coming into the classroom with the attitude of "I am terrible at
math. I have always been and will always be, and therefore I'm not even going to try because I know I will fail." With peer scaffolding, we saw student engagement and response to the approach amazingly improve—a world of students discussing and talking through math problems, regardless of ability levels or past experiences in math classes.
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